Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3}

Câu hỏi số 472022:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 24\) cắt mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,\,x + y = 0\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\). Tìm hoành độ điểm \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến \(A\left( {6; - 10;3} \right)\) lớn nhất.

A. \( - 1\)

B. \( - 4\)

C. \(2\)

D. \( - 5\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:472022

Phương pháp giải

- Xác định tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\).

- Gọi \(H\) là tâm đường tròn \(\left( C \right)\), tìm tọa độ điểm \(H\). Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(\left( \alpha \right)\), tìm tọa độ điểm \(K\).

- Sử dụng định lí Pytago: \(A{M^2} = A{K^2} + K{M^2}\), chứng minh \(A{M_{\max }} \Leftrightarrow K{M_{\max }}\).

- Sử dụng BĐT tam giác: \(KM \le KH + HM\), tìm \(M\) để \(KM = KH + HM\).

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 24\) có tâm \(I\left( {0;2; - 3} \right)\), bán kính \(R = 2\sqrt 6 \).

Gọi \(H\) là tâm đường tròn \(\left( C \right) \Rightarrow IH \bot \left( \alpha \right)\).

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(IH:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = - 3\end{array} \right.\).

Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = - 3\\x + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = - 3\\t + 2 + t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\\z = - 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow H\left( { - 1;1; - 3} \right)\).

Ta có \(IH = d\left( {I;\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {0 + 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \) \( \Rightarrow \) Bán kính đường tròn \(\left( C \right)\) là \(r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {24 - 2} = \sqrt {22} \).

Dễ thấy điểm \(A\) nằm ngoài mặt cầu \(\left( S \right)\). Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(\left( \alpha \right)\), tương tự như tìm tọa độ điểm \(H\) ta tìm được \(K\left( {8; - 8;3} \right)\).

Khi đó ta có \(KH = \sqrt {{{\left( {8 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 8 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 + 3} \right)}^2}} = 3\sqrt {22} > r\).

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(A{M^2} = A{K^2} + K{M^2}\), do \(AK\) không đổi nên \(A{M_{\max }} \Leftrightarrow K{M_{\max }}\).

Ta có \(KM \le KH + HM\) (BĐT tam giác), do đó \(K{M_{\max }} \Leftrightarrow HM = KH + HM = 3\sqrt {22} + \sqrt {22} = 4\sqrt {22} \), khi đó \(\overrightarrow {MK} = 4\overrightarrow {MH} \).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}8 - {x_M} = 4\left( { - 1 - {x_M}} \right)\\ - 8 - {y_M} = 4\left( {1 - {y_M}} \right)\\3 - {z_M} = 4\left( {3 - {z_M}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = - 4\\{y_M} = 4\\{z_M} = 3\end{array} \right.\).

Vậy \({x_M} = - 4\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.