Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \({\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left(

Câu hỏi số 472421:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \({\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} = 8\) và \({2^a} = {7^b} = {14^{ - c}}\). Tổng \({2^{a + b + c}}\)bằng:

A. 4

B. \(\dfrac{1}{8}\)

C. \(\dfrac{1}{2}\)

D. 8

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:472421

Phương pháp giải

- Từ giả thiết \({2^a} = {7^b} = {14^{ - c}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^a} = {14^{ - c}}\\{7^b} = {14^{ - c}}\end{array} \right.\), mũ \(b\) hai vế của mỗi phương trình và chứng minh \(ab + bc + ca = 0\).

- Khai triển \({\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} = 8\), sử dụng \({a^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 2\left( {ab + bc + ca} \right)\).

- Tiếp tục sử dụng hằng đẳng thức và tìm \(a + b + c\).

Giải chi tiết

Ta có \({2^a} = {7^b} = {14^{ - c}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^a} = {14^{ - c}}\\{7^b} = {14^{ - c}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{2^a}} \right)^b} = {\left( {{{14}^{ - c}}} \right)^b}\\{\left( {{7^b}} \right)^a} = {\left( {{{14}^{ - c}}} \right)^a}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{ab}} = {14^{ - cb}}\\{7^{ab}} = {14^{ - ca}}\end{array} \right. \Rightarrow {14^{ab}} = {14^{ - cb - ca}}\)

\( \Rightarrow ab + bc + ca = 0\)

Mà \({\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} = 8 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 4\left( {a + b + c} \right) + 4 = 0\).

Nên \({\left( {a + b + c} \right)^2} - 2\left( {ab + bc + ca} \right) - 4\left( {a + b + c} \right) + 4 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} - 4\left( {a + b + c} \right) + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b + c - 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow a + b + c = 2 \Leftrightarrow {2^{a + b + c}} = 4\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.