Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị của đạo hàm \(f'\left( x \right)\) như hình

Câu hỏi số 472422:

Vận dụng cao

Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị của đạo hàm \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ và \(f\left( b \right) = 1\). Số giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 5;5} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = \left| {{f^2}\left( x \right) + 4f\left( x \right) + m} \right|\) có đúng 5 điểm cực trị là:

A. 10

B. 9

C. 7

D. 8

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:472422

Phương pháp giải

Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\).

Giải chi tiết

Dựa vào đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên của \(y = f\left( x \right)\) như sau:

Đặt \(h\left( x \right) = {f^2}\left( x \right) + 4f\left( x \right)\) ta có: \(h'\left( x \right) = 2f'\left( x \right)f\left( x \right) + 4f'\left( x \right)\)

\(\begin{array}{l}h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2f'\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) + 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a\\x = b\end{array} \right.\\f\left( x \right) = - 2 \Rightarrow x = c < a\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = h\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị \( \Rightarrow \) Hàm số \(y = h\left( x \right) + m\) cũng có 3 điểm cực trị.

Vì số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = \left| {h\left( x \right) + m} \right|\) bằng tổng số điểm cực trị của hàm số \(y = h\left( x \right) + m\) và số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = h\left( x \right) + m\) với trục hoành (không tính tiếp xúc).

Nên để hàm số \(g\left( x \right) = \left| {h\left( x \right) + m} \right|\) có 5 điểm cực trị thì phương trình \(h\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt (không tính nghiệm kép).

Bảng biến thiên hàm số \(h\left( x \right)\) như sau:

Hoặc

\(h\left( b \right) = {g^2}\left( b \right) + 4f\left( b \right) = 1 + 4 = 5\), \(h\left( c \right) = {f^2}\left( c \right) + 4f\left( c \right)\), với \(h\left( c \right) < 1\) \( \Rightarrow h\left( c \right) \ge - 4\).

Nếu \(h\left( c \right) > 5\) thì phương trình \(h\left( x \right) = - m\) có 2 nghiệm phân biệt (không tính nghiệm kép) \( \Leftrightarrow 5 < - m < h\left( c \right) \Leftrightarrow m < - 5\) (không thỏa mãn \(m \in \left[ { - 5;5} \right]\)).

Nếu \(h\left( c \right) \le 5\) thì phương trình \(h\left( x \right) = - m\) có 2 nghiệm phân biệt (không tính nghiệm kép) \( \Leftrightarrow h\left( c \right) < - m \le 5 \Leftrightarrow - 5 \le m \le - h\left( c \right) \le 4\) (thỏa mãn \(m \in \left[ { - 5;5} \right]\)).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}\).

Vậy có 10 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.