Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Câu hỏi số 473985:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Biết rằng \(2xf'\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^2},\) \(\,\forall x \in \,\left( {0; + \infty } \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 2\). Tính \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right)d{\rm{x}}} \).

A. \(\dfrac{{73}}{6}\)

B. \(\dfrac{{133}}{9}\)

C. \(\dfrac{{182}}{9}\)

D. \(\dfrac{{91}}{6}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:473985

Phương pháp giải

- Chia cả 2 vế cho \(\sqrt {2x} > 0\).

- Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế, từ đó tìm hàm \(f\left( x \right)\).

- Sử dụng giả thiết \(f\left( 1 \right) = 2\) tìm hằng số \(C\). Suy ra hàm \(f\left( x \right)\) hoàn chỉnh.

- Tính \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} \) với hàm \(f\left( x \right)\)vừa tìm được.

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}2xf'\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {2x} f'\left( x \right) - \dfrac{1}{{\sqrt {2x} }}f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {2x} }}\\ \Leftrightarrow \sqrt {2x} f'\left( x \right) - \dfrac{1}{{\sqrt {2x} }}f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {2x} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)\sqrt {2x} - f\left( x \right)\left( {\sqrt {2x} } \right)'}}{{2x}} = \dfrac{x}{{2\sqrt {2x} }}\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{\sqrt {2x} }}} \right)' = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\sqrt x \end{array}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\(\begin{array}{l}\int {\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{\sqrt {2x} }}} \right)'dx} = \int {\dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\sqrt x dx} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{{\sqrt {2x} }} = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}.\dfrac{2}{3}x\sqrt x + C\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{{3\sqrt 2 }}\sqrt {2x} .x\sqrt x + C\sqrt {2x} \\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^2} + C\sqrt {2x} \end{array}\)

Ta lại có \(f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3} + C\sqrt 2 = 2 \Leftrightarrow C = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{6}\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^2} + \dfrac{{5\sqrt 2 }}{6}\sqrt {2x} = \dfrac{1}{3}{x^2} + \dfrac{5}{3}\sqrt x \)

Vậy \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^4 {\left( {\dfrac{1}{3}{x^2} + \dfrac{5}{3}\sqrt x } \right)dx} = \dfrac{{133}}{9}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.