Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm M biểu diễn của số phức z thỏa mãn\(\left| {z

Câu hỏi số 474904:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm M biểu diễn của số phức z thỏa mãn\(\left| {z + 1 + 3i} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|\) là phương trình đường thẳng có dạng \(ax+by+c=0\). Khi đó tỉ số \(\dfrac{a}{b}\) bằng:

A. \(\dfrac{1}{3}\).

B. \(\dfrac{1}{4}\).

C. \(\dfrac{2}{3}\).

D. \(\dfrac{3}{4}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:474904

Phương pháp giải

- Đặt \(z = a + bi\). Áp dụng công thức tính môđun số phức: \(z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

- Biến đổi rút ra mối quan hệ giữa \(a,\,\,b\) và suy ra quỹ tích các điểm biểu diễn số phức \(z\).

Giải chi tiết

Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right).\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {z + 1 + 3i} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {a + bi + 1 + 3i} \right| = \left| {a + bi - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2a + 1 + {b^2} + 6b + 9 = {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 2b + 1\\ \Leftrightarrow 6a + 8b + 5 = 0\end{array}\)

Suy ra tập hợp các điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(6x + 8y + 5 = 0\).

Dựa vào các đáp án ta có: Với \(A\left( { - 1; - 3} \right),\,\,B\left( {2;1} \right)\) \( \Rightarrow \) trung điểm của đoạn \(AB\) là \(I\left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)\).

\(\overrightarrow {AB} = \left( {3;4} \right)\) là 1 VTPT của đường trung trực của AB.

Suy ra phương trình đường trung trực của AB là:

\(3\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right) + 4\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y + \dfrac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow 6x + 8y + 5 = 0\).

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của số phức \(z\) là đường thẳng: \( 6x + 8y + 5 = 0\).

Vậy \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.