Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2x - m}}{{x + 2}}\) (\(m\) là tham số). Để \(\mathop {\min

Câu hỏi số 474984:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2x - m}}{{x + 2}}\) (\(m\) là tham số). Để \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\) thì \(m = \dfrac{a}{b}\) \(\left( {a \in \mathbb{Z},\,\,b \in \mathbb{N},\,\,b > 0} \right)\). Tổng \(a + b\) bằng

A. \( - 10\)

B. 10

C. 4

D. \( - 4\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:474984

Phương pháp giải

- Hàm số bậc nhất trên bậc nhất đơn điệu trên tửng khoảng xác định của nó.

- Hàm số bậc nhất trên bậc nhất đạt GTNN trên các đoạn mà hàm số xác định tại các điểm đầu mút.

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\) \( \Rightarrow \) Hàm số xác định trên \(\left[ { - 1;1} \right]\).

Ta có \(f\left( x \right) = \dfrac{{2x - m}}{{x + 2}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{4 + m}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

TH1: Nếu \(m > - 4\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \ne - 2\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left[ { - 1;1} \right]\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = \dfrac{{ - 2 - m}}{1}\)

Theo bài ra ta có: \(\dfrac{{ - 2 - m}}{1} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow m = - \dfrac{7}{3}\,\,\,\left( {tm} \right)\).

\( \Rightarrow a = - 7,\,\,b = 3\) nên \(a + b = - 7 + 3 = - 4\).

TH2: Nếu \(m < - 4\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \ne - 2\), do đó hàm số nghịch biến trên \(\left[ { - 1;1} \right]\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \dfrac{{2 - m}}{3}\)

Theo bài ra ta có: \(\dfrac{{2 - m}}{3} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow m = 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\).

TH3: Nếu \(m = - 4\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = 0\,\,\forall x \ne - 2\), do đó hàm số là hàm hằng \(\left[ { - 1;1} \right]\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( x \right) = \dfrac{{2x + 4}}{{x + 2}} = 2\) \( \Rightarrow a = - 4,\,\,b = 1 \Rightarrow a + b = - 3\).

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đáp án D đúng.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.