Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông, mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) là tam giác

Câu hỏi số 474985:

Vận dụng

Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông, mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng \(\dfrac{{3\sqrt 7 a}}{7}\). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là:

A. \(V = \dfrac{2}{3}{a^3}\)

B. \(V = \dfrac{{3{a^3}}}{2}\)

C. \(V = {a^3}\)

D. \(V = \dfrac{1}{3}{a^3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:474985

Phương pháp giải

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), sử dụng định lí \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( Q \right) = d\\a \subset \left( P \right),\,\,a \bot d\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( Q \right)\) chứng minh \(SM \bot \left( {ABCD} \right)\).

- Đổi \(d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\) sang \(d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right)\).

- Đặt độ dài cạnh đáy bằng \(x\), tính \(d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right)\) theo \(x\), từ đó tìm \(x\) theo \(a\).

- Tính thể tích khối chóp \({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}SM.{S_{ABCD}}\).

Giải chi tiết

Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,CD\).

Vì \(\Delta SAB\) đều nên \(SM \bot AB\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) = AB\\SM \subset \left( {SAB} \right),\,\,SM \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)\).

Vì \(AM//CD \Rightarrow AM//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {SMN} \right)\) kẻ \(MK \bot SN\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot MN\\CD \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow CD \bot MK\), \(\left\{ \begin{array}{l}MK \bot SN\\MK \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow MK \bot \left( {SCD} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right) = MK = \dfrac{{3\sqrt 7 a}}{7}\).

Đặt \(AB = x \Rightarrow MN = AD = x;\) \(SM = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \(SMN\) ta có:

\(\dfrac{1}{{M{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{M^2}}} + \dfrac{1}{{M{H^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{3a\sqrt 7 }}{7}} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{7}{{9{a^2}}} = \dfrac{7}{{3{x^2}}} \Leftrightarrow x = a\sqrt 3 \).

Vậy thể tích hình chóp \(S.ABCD\) là \(V = \dfrac{1}{3}SM.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2}.{\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} = \dfrac{{3{a^3}}}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.