Cho \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{x{{\left( {\ln x + 2} \right)}^2}}}} dx = a\ln 3 + b\ln 2 + \dfrac{c}{3}\)

Câu hỏi số 474987:

Vận dụng

Cho \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{x{{\left( {\ln x + 2} \right)}^2}}}} dx = a\ln 3 + b\ln 2 + \dfrac{c}{3}\) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Z}\). Giá trị \({a^2} + {b^2} + {c^2}\) bằng

A. 11

B. 1

C. 9

D. 3

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:474987

Phương pháp giải

- Đổi biến \(t = \ln x + 2\). Đổi cận.

- Tính tích phân, đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b,\,\,c\).

Giải chi tiết

Ta có \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{x{{\left( {\ln x + 2} \right)}^2}}}} dx\)

Đặt \(t = \ln x + 2 \Rightarrow dt = \dfrac{{dx}}{x}\) và \(\ln x = t - 2\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 2\\x = e \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(I = \int\limits_2^3 {\dfrac{{t - 2}}{{{t^2}}}} dt = \left. {\left( {\ln t + \dfrac{2}{t}} \right)} \right|_2^3 = \ln 3 - \ln 2 - \dfrac{1}{3}\).

\( \Rightarrow a = 1;\,\,b = - 1;\,\,c = - 1\).

Vậy \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.