Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB = a\), \(AC
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB = a\), \(AC = a\sqrt 3 \), \(AA' = 2a\). Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) trùng với trung điểm \(H\) của đoạn \(B'C'\) (tham khảo hình vẽ dưới đây). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC'\) bằng:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Chứng minh \(d\left( {AA';BC'} \right) = d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right)\), sử dụng định lí khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song và chứa đường thẳng kia.
- Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AK \bot BC\,\,\left( {K \in BC} \right)\), trong \(\left( {AHK} \right)\) kẻ \(AI \bot HK\,\,\left( {I \in HK} \right)\), chứng minh \(AI \bot \left( {BCC'B'} \right)\)
- Sử dụng định lí Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông tính khoảng cách.
Ta có \(AA'//BB' \Rightarrow AA'//\left( {BCC'B'} \right) \supset BC'\) \( \Rightarrow d\left( {AA';BC'} \right) = d\left( {AA';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right)\).
Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AK \bot BC\,\,\left( {K \in BC} \right)\), trong \(\left( {AHK} \right)\) kẻ \(AI \bot HK\,\,\left( {I \in HK} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AK\\BC \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow BC \bot AI\\\left\{ \begin{array}{l}AI \bot HK\\AI \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {BCC'B'} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AI = d\left( {AA';BC'} \right)\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\) ta có \(AK = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{a.a\sqrt 3 }}{{\sqrt {{a^2} + 3{a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Tam giác \(A'B'C'\) có \(B'C' = \sqrt {A'B{'^2} + A'C{'^2}} = 2a\) \( \Rightarrow A'H = \dfrac{1}{2}B'C' = a\).
\( \Rightarrow AH = \sqrt {AA{'^2} - A'{H^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AHK\) ta có \(AI = \dfrac{{AH.AK}}{{\sqrt {A{H^2} + A{K^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 .\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {3{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\).
Vậy \(d\left( {AA';BC'} \right) = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
