Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hình vuông \(ABCD\) có \(A\left( {1;\,\,2} \right),\,\,C\left(

Câu hỏi số 476416:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hình vuông \(ABCD\) có \(A\left( {1;\,\,2} \right),\,\,C\left( {3;\,\,5} \right)\). Khi đó, tọa độ đỉnh \(B\) của hình vuông \(ABCD\) là

A. \(B\left( {\dfrac{9}{2};\,\,\dfrac{1}{2}} \right)\) hoặc \(B\left( {\dfrac{5}{2};\,\,\dfrac{7}{2}} \right)\)

B. \(B\left( {\dfrac{1}{2};\,\,\dfrac{9}{2}} \right)\) hoặc \(B\left( {\dfrac{7}{2};\,\,\dfrac{5}{2}} \right)\)

C. \(B\left( {\dfrac{9}{2};\,\,\dfrac{5}{2}} \right)\) hoặc \(B\left( {\dfrac{1}{2};\,\,\dfrac{7}{2}} \right)\)

D. \(B\left( {\dfrac{5}{2};\,\,\dfrac{9}{2}} \right)\) hoặc \(B\left( {\dfrac{7}{2};\,\,\dfrac{1}{2}} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476416

Phương pháp giải

Gọi \(I\) là tâm của hình vuông \(ABCD\).

\(ABCD\) là hình vuông suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CB\\IB \bot AC\end{array} \right. \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} \,.\,\overrightarrow {CB} = 0\\\overrightarrow {IB} \,.\,\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

Gọi \(I\left( {{x_I};\,\,{y_I}} \right)\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AC\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_C}}}{2}\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{1 + 3}}{2} = 2\\{y_I} = \dfrac{{2 + 5}}{2} = \dfrac{7}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {2;\,\,\dfrac{7}{2}} \right)\)

Giả sử \(B\left( {a;\,\,b} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {a - 1;b - 2} \right),\,\,\)\(\overrightarrow {BC} = \left( {3 - a;5 - b} \right),\,\)\(\,\overrightarrow {IB} = \left( {a - 2;b - \dfrac{7}{2}} \right),\,\)\(\,\overrightarrow {AC} = \left( {2;3} \right)\)

Vì \(ABCD\) là hình vuông và \(I = AC \cap BD\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CB\\IB \bot AC\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} \,.\,\overrightarrow {CB} = 0\\\overrightarrow {IB} \,.\,\overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 1} \right)\left( {3 - a} \right) + \left( {b - 2} \right)\left( {5 - b} \right) = 0\\2\left( {a - 2} \right) + 3\left( {b - \dfrac{7}{2}} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {a^2} - {b^2} + 4a + 7b - 13 = 0\,\,\,(1)\\a = \dfrac{{29}}{4} - \dfrac{3}{2}b\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Lấy (2) thay vào (1) ta có:

\(\begin{array}{l} - {\left( {\dfrac{{29}}{4} - \dfrac{3}{2}b} \right)^2} - {b^2} + 4\left( {\dfrac{{29}}{4} - \dfrac{3}{2}b} \right) + 7b - 13 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{13}}{4}{b^{_2}} - \dfrac{{91}}{4}b + \dfrac{{585}}{{16}} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \dfrac{9}{2} \Rightarrow a = \dfrac{1}{2}\\b = \dfrac{5}{2} \Rightarrow a = \dfrac{7}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow B\left( {\dfrac{1}{2};\,\,\dfrac{9}{2}} \right)\) hoặc \(B\left( {\dfrac{7}{2};\,\,\dfrac{5}{2}} \right)\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10