Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(BC = a\sqrt 3 \), \(M\) là trung điểm của \(BC\) và có

Câu hỏi số 476417:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(BC = a\sqrt 3 \), \(M\) là trung điểm của \(BC\) và có \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\). Tính cạnh \(AB\), \(AC\).

A. \(AB = a\sqrt 2 \), \(AC = a\sqrt 2 \).

B. \(AB = a\sqrt 2 \), \(AC = a\).

C. \(AB = a\), \(AC = a\sqrt 2 \).

D. \(AB = a\), \(AC = a\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476417

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\) để suy ra \(A{C^2} - A{B^2} = {a^2}\) và định lý Py-ta-go để xác định \(AB,\,\,AC\).

Giải chi tiết

Ta có : \(M\) là trung điểm của \(BC\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \dfrac{{\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)}}{2}\)

Ta có: \(\overrightarrow {AM} \overrightarrow {BC} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \dfrac{{{a^2}}}{2}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} \overrightarrow {.AC} - {{\overrightarrow {AB} }^2} + {{\overrightarrow {AC} }^2} - \overrightarrow {AB} \overrightarrow {.AC} } \right)\)\( = \dfrac{{{a^2}}}{2}\)\( \Leftrightarrow - {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2} = {a^2}\)\( \Rightarrow A{C^2} - A{B^2} = {a^2}\).

Mặt khác, tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)\( = {\left( {\sqrt 3 a} \right)^2} = 3{a^2}\).

Từ đó , ta có hệ phương trình :

\(\left\{ \begin{array}{l}A{C^2} - A{B^2} = {a^2}\\A{C^2} + A{B^2} = 3{a^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}A{C^2} = 2{a^2}\\A{B^2} = {a^2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = a\sqrt 2 \\AB = a\end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10