Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh bằng \(a\). Tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức \(4M{A^2} +

Câu hỏi số 476419:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh bằng \(a\). Tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức \(4M{A^2} + M{B^2}\)\( + M{C^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{2}\) nằm trên một đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(R\). Tính \(R\).

A. \(R = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\)

B. \(R = \dfrac{a}{4}\)

C. \(R = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(R = \dfrac{a}{{\sqrt 6 }}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476419

Phương pháp giải

Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Giải chi tiết

Gọi \(N\) là trung điểm đoạn \(BC\).

Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn: \(4\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0 \), nên điểm \(I\) thuộc đoạn thẳng \(AN\) sao cho \(IN = 2IA\).

Khi đó: \(IA = \dfrac{1}{3}AN\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)\( = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\) và \(IN = \dfrac{2}{3}AN\)\( = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).\( = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(I{B^2} = I{C^2}\)\( = I{N^2} + B{N^2}\)\( = \dfrac{{{a^2}}}{3} + \dfrac{{{a^2}}}{4}\)\( = \dfrac{{7{a^2}}}{{12}}\).

Ta có: \(4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{2}\)\( \Leftrightarrow 4{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\)\( + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{2}\).

\( \Leftrightarrow 6M{I^2} + 4I{A^2} + \)\(I{B^2} + I{C^2} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow 6M{I^2} + 4.\dfrac{{{a^2}}}{{12}}\)\( + 2.\dfrac{{7{a^2}}}{{12}} = \dfrac{{5{a^2}}}{2}\)

\( \Leftrightarrow MI = \dfrac{a}{{\sqrt 6 }}\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.