Cho \(a,\,\,b\) là các số dương và thỏa mãn hệ thức \(\dfrac{{{{\sin }^4}x}}{a} + \dfrac{{{{\cos

Câu hỏi số 476418:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,\,b\) là các số dương và thỏa mãn hệ thức \(\dfrac{{{{\sin }^4}x}}{a} + \dfrac{{{{\cos }^4}x}}{b}\)\( = \dfrac{1}{{a + b}}\).

Tính \(\dfrac{{{{\sin }^{2022}}x}}{{{a^{1010}}}} + \dfrac{{{{\cos }^{2022}}x}}{{{b^{1010}}}}\).

A. \(\dfrac{1}{{{{\left( {b + a} \right)}^{1010}}}}\)

B. \(\dfrac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^{1008}}}}\)

C. \(\dfrac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^{1009}}}}\)

D. \(\dfrac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^{2022}}}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476418

Phương pháp giải

Biến đổi điều kiện đề bài để tìm \({\sin ^2}x,\,\,{\cos ^2}x\) theo \(a\) và \(b\).

Giải chi tiết

Theo đề bài , ta có :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{{{\sin }^4}x}}{a} + \dfrac{{{{\cos }^4}x}}{b} = \dfrac{1}{{a + b}}\\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {\dfrac{{{{\sin }^4}x}}{a} + \dfrac{{{{\cos }^4}x}}{b}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {\dfrac{{{{\sin }^4}x}}{a} + \dfrac{{{{\cos }^4}x}}{b}} \right) = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\sin ^4}x + \dfrac{a}{b}{\cos ^4}x + \dfrac{b}{a}{\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {\sin ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x + {\cos ^4}x\\ \Leftrightarrow \dfrac{a}{b}{\cos ^4}x + \dfrac{b}{a}{\sin ^4}x - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {\dfrac{b}{a}} {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2\sqrt {\dfrac{b}{a}} {\cos ^2}x.\sqrt {\dfrac{a}{b}} {\sin ^2}x + {\left( {\sqrt {\dfrac{a}{b}} {{\sin }^2}x} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {\dfrac{b}{a}} {{\cos }^2}x - \sqrt {\dfrac{a}{b}} {{\sin }^2}x} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {\dfrac{b}{a}} {{\cos }^2}x - \sqrt {\dfrac{a}{b}} {{\sin }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {\dfrac{b}{a}} {\cos ^2}x = \sqrt {\dfrac{a}{b}} {\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{a} = \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{b} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{a + b}} = \dfrac{1}{{a + b}} > 0\end{array}\)

\( \Rightarrow {\sin ^2}x = \dfrac{a}{{a + b}},\,\,\)\({\cos ^2}x = \dfrac{a}{{a + b}} \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^{2022}}x = \dfrac{{{a^{1011}}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^{1011}}}}\\{\cos ^{2022}}x = \dfrac{{{b^{1011}}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^{1011}}}}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{{\sin }^{2022}}x}}{{{a^{1010}}}} + \dfrac{{{{\cos }^{2022}}x}}{{{b^{1010}}}}\)\( = \dfrac{{{a^{1011}}}}{{{a^{1010}}{{\left( {a + b} \right)}^{1011}}}} + \dfrac{{{b^{1011}}}}{{{b^{1010}}{{\left( {a + b} \right)}^{1011}}}}\)\( = \dfrac{a}{{{{\left( {a + b} \right)}^{1011}}}} + \dfrac{b}{{{{\left( {a + b} \right)}^{1011}}}} = \)\(\dfrac{{a + b}}{{{{\left( {a + b} \right)}^{1011}}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^{1010}}}}\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10