Cho phương trình: \({x^4} - 2m{x^2} + 2m + 6 = 0.\)Tìm giá trị của \(m\) để phương trình có bốn

Câu hỏi số 476451:

Vận dụng

Cho phương trình: \({x^4} - 2m{x^2} + 2m + 6 = 0.\)Tìm giá trị của \(m\) để phương trình có bốn nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\) sao cho \({x_1} < {x_2} < {x_3} < {x_4}\) và \({x_4} - 2{x_3} + 2{x_2} - {x_1} = 0\).

A. \(m = 1\)

B. \(m = 2\)

C. \(m = 4\)

D. \(m = 5\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476451

Phương pháp giải

Phương trình trùng phương, đặt ẩn đưa về phương trình bậc hai

Giải chi tiết

\({x^4} - 2m{x^2} + 2m + 6 = 0\left( 1 \right)\)

Đặt \(t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)\), ta được phương trình mới: \({t^2} - 2mt + 2m + 6 = 0 \left( 2 \right)\)

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\)có hai nghiệm dương phân biệt \({t_1},{t_2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\P = 2m + 6 > 0\\S = 2m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m - 6 > 0\\m > 0\end{array} \right.\left( 3 \right)\)

Với điều kiện \(\left( 3 \right),\)phương trình \(\left( 2 \right)\)có hai nghiệm dương \(0 < {t_1} < {t_2} \Rightarrow \)phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt :

\({x_1} = - \sqrt {{t_2}} < {x_2} = - \sqrt {{t_1}} < {x_3} = \sqrt {{t_1}} < {x_4} = \sqrt {{t_2}} \). Theo đề bài ta cũng có:

\({x_4} - 2{x_3} + 2{x_2} - {x_1} = 0 \Leftrightarrow {x_4} - {x_1} = 2\left( {{x_3} - {x_2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 2\sqrt {{t_2}} = 4\sqrt {{t_1}} \Leftrightarrow {t_2} = 4{t_1}\,\,\,\left( 4 \right)\)

Theo định lý Vi-et, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = 2m\\{t_1}{t_2} = 2m + 6\end{array} \right.\,\,\,\left( 5 \right)\)

Từ (4) và (5) ta có: \(5{t_1} = 2m\)và \(4t_1^2 = 2m + 6 \Rightarrow 16{m^2} - 50m - 150 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - \dfrac{{15}}{8}(ktm)\\m = 5(tm)\end{array} \right.\)

Vậy \(m = 5\).

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link