Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của \(g\left( x \right) = \dfrac{{\ln x}}{{{{\left( {x + 1}

Câu hỏi số 476759:

Thông hiểu

Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của \(g\left( x \right) = \dfrac{{\ln x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)?

A. \(\dfrac{{ - \ln 2x - x\ln 2}}{{x + 1}} + \ln \left| {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right| + 1999\)

B. \(\dfrac{{ - \ln x}}{{x + 1}} - \ln \left| {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right| + 1998\)

C. \(\dfrac{{\ln x}}{{x + 1}} - \ln \left| {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right| + 2016\)

D. \(\dfrac{{\ln x}}{{x + 1}} + \ln \left| {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right| + 2017\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476759

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = - \dfrac{1}{{x + 1}}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {g\left( x \right)dx} = \int {\dfrac{{\ln x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} = - \dfrac{1}{{x + 1}}\ln x + \int {\dfrac{{dx}}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{1}{{x + 1}}\ln x + \int {\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{1}{{x + 1}}\ln x + \ln \left| x \right| - \ln \left| {x + 1} \right| + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{{\ln x}}{{x + 1}} + \ln \left| {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right| + C\end{array}\)

Xét đáp án A ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{{ - \ln 2x - x\ln 2}}{{x + 1}} + \ln \left| {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right| + 1999\\ = \dfrac{{ - \ln 2 - \ln x - x\ln 2}}{{x + 1}} + \ln \left| {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right| + 1999\\ = \dfrac{{ - \ln x - \ln 2\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} + \ln \left| {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right| + 1999\\ = \dfrac{{ - \ln x}}{{x + 1}} + \ln \left| {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right| + 1999 - \ln 2\end{array}\)

Do đó \(\dfrac{{ - \ln 2x - x\ln 2}}{{x + 1}} + \ln \left| {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right| + 1999\) là một nguyên hàm của \(g\left( x \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.