Cho biết \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}{e^x}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}dx} = \dfrac{a}{b}.e + c\) với

Câu hỏi số 476770:

Vận dụng

Cho biết \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}{e^x}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}dx} = \dfrac{a}{b}.e + c\) với \(a,\,\,c\) là các số nguyên, \(b\) là số nguyên dương và \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(a - b + c\).

A. \(\dfrac{1}{3}\)

B. \( - \dfrac{{13}}{3}\)

C. \( - \dfrac{1}{3}\)

D. \(\dfrac{{13}}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476770

Phương pháp giải

- Biến đổi \(\dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {\left( {\dfrac{x}{{x + 2}}} \right)^2} = {\left( {1 - \dfrac{2}{{x + 2}}} \right)^2} = 1 - \dfrac{4}{{x + 2}} + \dfrac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

- Tách thành tổng các tích phân và sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Giải chi tiết

Ta có: \(\dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {\left( {\dfrac{x}{{x + 2}}} \right)^2} = {\left( {1 - \dfrac{2}{{x + 2}}} \right)^2} = 1 - \dfrac{4}{{x + 2}} + \dfrac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}{e^x}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {1 - \dfrac{4}{{x + 2}} + \dfrac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right){e^x}dx} \\ = \int\limits_0^1 {{e^x}dx} - 4\int\limits_0^1 {\dfrac{{{e^x}}}{{x + 2}}dx} + 4\int\limits_0^1 {\dfrac{{{e^x}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}dx} \end{array}\)

Xét \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{{e^x}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}dx} \). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^x}\\dv = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = {e^x}dx\\v = - \dfrac{1}{{x + 2}}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \left. { - \dfrac{{{e^x}}}{{x + 2}}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{x + 2}}{e^x}dx} = - \dfrac{e}{3} + \dfrac{1}{2} + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{e^x}}}{{x + 2}}dx} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}{e^x}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}dx} = \int\limits_0^1 {{e^x}dx} - 4\int\limits_0^1 {\dfrac{{{e^x}}}{{x + 2}}dx} + 4\left( { - \dfrac{e}{3} + \dfrac{1}{2} + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{e^x}}}{{x + 2}}dx} } \right)\\ = e - 1 - 4\int\limits_0^1 {\dfrac{{{e^x}}}{{x + 2}}dx} - \dfrac{{4e}}{3} + 2 + 4\int\limits_0^1 {\dfrac{{{e^x}}}{{x + 2}}dx} \\ = 1 - \dfrac{e}{3} = - \dfrac{1}{3}e + 1\\ \Rightarrow a = - 1,\,\,b = 3,\,\,c = 1 \Rightarrow a + b + c = 3.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.