Cho lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có chiều cao bằng \(2a\) và đáy là hình vuông có cạnh bằng \(a\).

Câu hỏi số 477161:

Vận dụng cao

Cho lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có chiều cao bằng \(2a\) và đáy là hình vuông có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) và \(Q\) lần lượt là tâm của các mặt bên \(ABB'A'\), \(BCC'B'\), \(CDD'C'\) và \(ADD'A'\). Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D,\,\,M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) bằng:

A. \(\dfrac{{{a^3}}}{6}\)

B. \(\dfrac{{5{a^3}}}{6}\)

C. \(\dfrac{{5{a^3}}}{3}\)

D. \(\dfrac{{125{a^3}}}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:477161

Phương pháp giải

- Sử dụng phân chia khối đa diện

- Sử dụng công thức tính thể tích hình hộp \(V = S.h\) với \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao hình hộp.

- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}S.h\) với \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao hình chóp.

Giải chi tiết

Thể tích hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) là \(V = 2a.{a^2} = 2{a^3}\)

Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AA',BB'\) lần lượt tại \(A'';B''\)

Qua \(P\) kẻ đường thẳng song song với \(DC\) cắt \(DD',CC'\) lần lượt tại \(D'';C''\)

Suy ra \(A'';Q;D''\) thẳng hàng và \(A''D''//AD\); \(B'';N;C''\) thẳng hàng và \(B''C''//BC\)

Ta có \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(A''B'',B''C'',C''D'',D''A''\)

\(A'',B'',C'',D''\) lần lượt là trung điểm của \(AA',BB',CC',DD'\)

Suy ra \({V_{ABCD.A''B''C''D''}} = \dfrac{1}{2}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \dfrac{1}{2}.72 = 36\)

Ta có \({V_{ABCD.MNPQ}} = {V_{ABCD.A''B''C''D''}} - {V_{D.QD''P}} - {V_{C.NC''P}} - {V_{B.MNB''}} - {V_{A.QMA''}}\)

\(\begin{array}{l}{V_{D.QD''P}} = \dfrac{1}{3}.{S_{QD''P}}.d\left( {D;\left( {QD''P} \right)} \right)\\ = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}QD''.D''P.\sin \angle QD''P.d\left( {D;\left( {A''B''C''D''} \right)} \right)\\ = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}AD.\dfrac{1}{2}DC.\sin \angle ADC.d\left( {D;\left( {A''B''C''D''} \right)} \right)\\ = \dfrac{1}{{24}}.AD.DC.\sin \angle ADC.d\left( {D;\left( {A''B''C''D''} \right)} \right)\\ = \dfrac{1}{{24}}.{S_{ABCD}}.d\left( {D;\left( {A''B''C''D''} \right)} \right)\\ = \dfrac{1}{{24}}.{V_{ABCD.A''B''C''D''}}\\ = \dfrac{1}{{24}}.2{a^3} = \dfrac{{{a^3}}}{{12}}\end{array}\)

Tương tự ta có \({V_{C.NC''P}} = {V_{B.MNB''}} = {V_{A.QMA''}} = \dfrac{{{a^3}}}{{12}}\)

Suy ra \({V_{ABCD.MNPQ}} = {V_{ABCD.A''B''C''D''}} - {V_{D.QD''P}} - {V_{C.NC''P}} - {V_{B.MNB''}} - {V_{A.QMA''}}\)\( = 2{a^3} - 4.\dfrac{{{a^3}}}{{12}} = \dfrac{{5{a^3}}}{3}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.