Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left(
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\) và ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {2;1;3} \right)\), \(C\left( {0;2; - 3} \right)\). Biết rằng quỹ tích điểm \(M\) thỏa mãn \(M{A^2} + 2\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = 8\) là một đường tròn cố định, tính bán kính \(r\) của đường tròn này.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\), tính \(\overrightarrow {MA} ,\,\,\overrightarrow {MB} ,\,\,\overrightarrow {MC} \).
- Từ giả thiết \(M{A^2} + 2\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = 8\) chứng minh \(I \in \left( {S'} \right)\), xác định tâm \(I'\) và bán kính \(R'\) của mặt cầu \(\left( {S'} \right)\).
- Xác định tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\).
- Chứng minh \(II' < R + R' \Rightarrow \left( S \right) \cap \left( {S'} \right) = \) một đường tròn và \(M\) thuộc đường tròn đó.
- Sử dụng định lí Pytago tính bán kính của đường tròn.
Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} = \left( {1 - x; - y; - z} \right)\\\overrightarrow {MB} = \left( {2 - x;1 - y;3 - z} \right)\\\overrightarrow {MC} = \left( { - x;2 - y; - 3 - z} \right)\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow M{A^2} + 2\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = 8\\ \Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^2} + {y^2} + {z^2} - 2x\left( {2 - x} \right) + 2\left( {1 - y} \right)\left( {2 - y} \right) + 2\left( {3 - z} \right)\left( { - 3 - z} \right) = 8\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 1 - 4x + 2{x^2} + 2\left( {2 - 3y + {y^2}} \right) - 2\left( {9 - {z^2}} \right) = 8\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 1 - 4x + 2{x^2} + 4 - 6y + 2{y^2} - 18 + 2{z^2} = 8\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x - 6y - 21 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 7 = 0\,\,\left( {S'} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow M \in \left( {S'} \right)\) là mặt cầu tâm \(I'\left( {1;1;0} \right)\), bán kính \(R' = \sqrt {1 + 1 + 7} = 3\).
Hơn nữa, \(M \in \left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3;3;2} \right)\), bán kính \(R = 3\).
Ta có: \(II' = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 3 < R + R'\).
\( \Rightarrow M = \left( S \right) \cap \left( {S'} \right)\) là một đường tròn có bán kính \(r = AH\).
Dễ thấy \(\Delta AII'\) cân tại \(A\) nên \(H\) là trung điểm của \(II'\) \( \Rightarrow IH = \dfrac{1}{2}II' = \sqrt 3 \).
Vậy \(r = AH = \sqrt {A{I^2} - I{H^2}} = \sqrt {{3^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = \sqrt 6 \).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
