Cho đường thẳng \(y = 2x\) và parabol \(y = {x^2} + c\) (\(c\) là tham số thực dương)/ Gọi \({S_1}\)
Cho đường thẳng \(y = 2x\) và parabol \(y = {x^2} + c\) (\(c\) là tham số thực dương)/ Gọi \({S_1}\) và \({S_2}\) lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi \({S_1} = {S_2}\) thì \(c\) gần với số nào nhất sau đây?
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Giả sử nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm là \({x^2} + c = 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a > 0\\x = b > 0\end{array} \right.\).
- Sử dụng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) để tính \({S_1},\,\,{S_2}\).
- Giải phương trình \({S_1} = {S_2}\) và thế \(c = 2b - {b^2}\), giải phương trình tìm \(b\) sau đó tìm \(c\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} + c = 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a > 0\\x = b > 0\end{array} \right.\).
Ta có
\({S_1} = \int\limits_0^a {\left( {{x^2} + c - 2x} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} + cx - {x^2}} \right)} \right|_0^a = \dfrac{{{a^3}}}{3} + ca - {a^2}\).
\({S_2} = \int\limits_a^b {\left( {2x - {x^2} - c} \right)dx} = \left. {\left( {{x^2} - \dfrac{{{x^3}}}{3} - cx} \right)} \right|_a^b = {b^2} - \dfrac{{{b^3}}}{3} - cb - {a^2} + \dfrac{{{a^3}}}{3} + ca\)
Vì \({S_1} = {S_2}\) nên ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{a^3}}}{3} + ca - {a^2} = {b^2} - \dfrac{{{b^3}}}{3} - cb - {a^2} + \dfrac{{{a^3}}}{3} + ca\\ \Leftrightarrow {b^2} - \dfrac{{{b^3}}}{3} - cb = 0\\ \Leftrightarrow b - \dfrac{{{b^2}}}{3} - c = 0\,\,\left( {do\,\,b > 0} \right)\end{array}\)
Vì \(b\) là nghiệm của phương trình \({x^2} + c = 2x \Rightarrow {b^2} + c = 2b\) \( \Rightarrow c = 2b - {b^2}\).
\( \Rightarrow b - \dfrac{{{b^2}}}{3} - 2b + {b^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{2}\,\,\left( {tm} \right)\\b = 0\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).
Vậy \(c = 2b - {b^2} = \dfrac{3}{4}\) gần với 1 nhất.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
