Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AB = a\), \(\angle SAB = \angle SCB =
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AB = a\), \(\angle SAB = \angle SCB = {90^0}\), cạnh bên \(SA\) tạo với mặt phẳng đáy góc \({60^0}\). Tính diện tích \(S\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Gọi \(I\) là trung điểm của \(SB\). Chứng minh \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\).
- Xác định góc giữa \(SA\) và \(\left( {ABC} \right)\).
- Đặt \(SB = x\) \(\left( {x > a} \right)\), tính \(SA,\,\,SM,\,\,SH\) theo \(x\).
- Tính \({S_{\Delta SBM}} = \sqrt {p\left( {p - SB} \right)\left( {p - BM} \right)\left( {p - SM} \right)} \) với \(p\) là nửa chu vi tam giác \(SBM\).
- Giải phương trình \(\sqrt {p\left( {p - SB} \right)\left( {p - BM} \right)\left( {p - SM} \right)} = \dfrac{1}{2}SH.BM\) tìm \(x\) theo \(a\) và suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
- Diện tích mặt cầu bán kính \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(SB\).
Vì \(\angle SAB = \angle SCB = {90^0}\) nên \(IA = IC = \dfrac{1}{2}SB = IS = IB\) \( \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\) ta có \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B \Rightarrow BM \bot AC\).
Lại có \(\Delta SAB = \Delta SCB\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông) \( \Rightarrow SA = SC\).
\( \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại \(S \Rightarrow SM \bot AC\).
\( \Rightarrow AC \bot \left( {SMB} \right)\).
Trong \(\left( {SBM} \right)\) kẻ \(SH \bot BM\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot BM\\SH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).
\( \Rightarrow HA\) là hình chiếu vuông góc của \(SA\) lên \(\left( {ABC} \right)\) \( \Rightarrow \angle \left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SA;HA} \right) = \angle SAH = {60^0}\).
Đặt \(SB = x\) \(\left( {x > a} \right)\) ta có \(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = \sqrt {{x^2} - {a^2}} \).
Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B\) có \(AB = a\) nên \(AC = a\sqrt 2 ,\,\,BM = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
\( \Rightarrow SM = \sqrt {S{A^2} - A{M^2}} = \sqrt {{x^2} - {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \sqrt {{x^2} - \dfrac{{3{a^2}}}{2}} \).
Gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác \(SBM\) ta có \(p = \dfrac{{SB + BM + SM}}{2} = \dfrac{{x + \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} + \sqrt {{x^2} - \dfrac{{3{a^2}}}{2}} }}{2}\).
Xét tam giác vuông \(SAH\) ta có \(SH = SA.\sin {60^0} = \sqrt {{x^2} - {a^2}} .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{\Delta SBM}} = \sqrt {p\left( {p - SB} \right)\left( {p - BM} \right)\left( {p - SM} \right)} = \dfrac{1}{2}SH.BM\\ \Rightarrow \sqrt {p\left( {p - SB} \right)\left( {p - BM} \right)\left( {p - SM} \right)} = \dfrac{1}{2}.\sqrt {{x^2} - {a^2}} .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow 8\sqrt {p\left( {p - SB} \right)\left( {p - BM} \right)\left( {p - SM} \right)} = \sqrt 6 .\sqrt {{x^2} - {a^2}} \\ \Leftrightarrow 64p\left( {p - SB} \right)\left( {p - BM} \right)\left( {p - SM} \right) = 6\left( {{x^2} - {a^2}} \right)\\ \Leftrightarrow x = a\sqrt 5 \end{array}\)
\( \Rightarrow \) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là \(R = \dfrac{1}{2}SB = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}a} \right)^2} = 5\pi {a^2}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
