Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( x \right) - 1 =

Câu hỏi số 478594:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( x \right) - 1 = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {x + {e^t}} \right)f\left( t \right)dt} \). Tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {{e^x}f\left( x \right)dx} \) bằng:

A. \(I = \dfrac{{e + 3}}{{ - {e^2} + e - 3}}\)

B. \(I = \dfrac{{e + 3}}{{{e^2} - e + 3}}\)

C. \(I = \dfrac{{{e^2} + 3}}{{ - {e^2} + e - 3}}\)

D. \(I = \dfrac{{ - 2e}}{{{e^2} - e + 3}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:478594

Giải chi tiết

Ta có:

\(f\left( x \right) - 1 = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {x + {e^t}} \right)f\left( t \right)dt} \Leftrightarrow f\left( x \right) - 1 = x\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( t \right)dt} + \int\limits_{ - 1}^1 {{e^t}f\left( t \right)dt} \,\,\,\left( * \right)\)

Giả sử \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( t \right)dt} = a,\,\,\int\limits_{ - 1}^1 {{e^t}f\left( t \right)dt} = b\) \( \Rightarrow f\left( x \right) - 1 = xa + b \Leftrightarrow f\left( x \right) = ax + b + 1\).

Thay vào (*) ta có:

\(\begin{array}{l}ax + b = x\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {at + b + 1} \right)dt} + \int\limits_{ - 1}^1 {{e^t}\left( {at + b + 1} \right)dt} \\ \Leftrightarrow ax + b = x\left. {\left( {\dfrac{{a{t^2}}}{2} + bt + t} \right)} \right|_{ - 1}^1 + \int\limits_{ - 1}^1 {{e^t}\left( {at + b + 1} \right)dt} \\ \Leftrightarrow ax + b = x\left( {\dfrac{a}{2} + b + 1 - \dfrac{a}{2} + b + 1} \right) + \left. {\left( {at + b + 1} \right){e^t}} \right|_{ - 1}^1 - a\int\limits_{ - 1}^1 {{e^t}dt} \\ \Leftrightarrow ax + b = x\left( {2b + 2} \right) + \left( {a + b + 1} \right)e - \left( { - a + b + 1} \right){e^{ - 1}} - a\left( {e - {e^{ - 1}}} \right)\\ \Leftrightarrow ax + b = x\left( {2b + 2} \right) + \left( {b + 1} \right)e + \left( {2a - b - 1} \right){e^{ - 1}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b + 2\\b = \left( {b + 1} \right)e + \left( {2a - b - 1} \right){e^{ - 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b + 2\\b = \left( {b + 1} \right)e + \left( {3b + 3} \right){e^{ - 1}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2b + 2\\b = \left( {e + \dfrac{3}{e}} \right)b + e + \dfrac{3}{e}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{2{e^2}}}{{{e^2} - e - 1}}\\b = \dfrac{{e + \dfrac{3}{e}}}{{1 - e - \dfrac{3}{e}}} = \dfrac{{{e^2} + 3}}{{ - {e^2} + e - 3}}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(\int\limits_{ - 1}^1 {{e^t}f\left( t \right)dt} = b = \int\limits_{ - 1}^1 {{e^x}f\left( x \right)dx} = \dfrac{{{e^2} + 3}}{{ - {e^2} + e - 3}} = I\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.