Xét các số thực không âm \(x\) và \(y\) thỏa mãn \({2^{8x + {2^{x + 1}} + 1}} - {4^{3x - y + {2^x} + 2}} +

Câu hỏi số 478598:

Vận dụng cao

Xét các số thực không âm \(x\) và \(y\) thỏa mãn \({2^{8x + {2^{x + 1}} + 1}} - {4^{3x - y + {2^x} + 2}} + 2x + 2y - 3 \ge 0\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 6x + 4y\) gần nhất với số nào dưới đây?

A. \(6\)

B. \(7\)

C. \(9\)

D. \(8\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:478598

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{2^{8x + {2^{x + 1}} + 1}} - {4^{3x - y + {2^x} + 2}} + 2x + 2y - 3 \ge 0\\ \Leftrightarrow {2^{8x + {2^{x + 1}} + 1}} - {2^{6x - 2y + {2^{x + 1}} + 4}} + 2x + 2y - 3 \ge 0\\ \Leftrightarrow {2^{8x + {2^{x + 1}} + 1}} + 8x + {2^{x + 1}} + 1 \ge {2^{6x - 2y + {2^{x + 1}} + 4}} + 6x - 2y + {2^{x + 1}} + 4\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + t\) ta có \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\), suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow 8x + {2^{x + 1}} + 1 \ge 6x - 2y + {2^{x + 1}} + 4\\ \Leftrightarrow 2x + 2y - 3 \ge 0 \Leftrightarrow y \ge \dfrac{{3 - 2x}}{2}\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,P = {x^2} + {y^2} + 6x + 4y\\ \Leftrightarrow P \ge {x^2} + {\left( {\dfrac{{3 - 2x}}{2}} \right)^2} + 6x + 4.\dfrac{{3 - 2x}}{2}\\ \Leftrightarrow P \ge {x^2} + \dfrac{{4{x^2} - 12x + 9}}{4} + 6x + 6 - 4x\\ \Leftrightarrow P \ge 2{x^2} - x + \dfrac{{33}}{4}\\ \Leftrightarrow P \ge 2\left( {{x^2} - 2x.\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{16}}} \right) + \dfrac{{65}}{8}\\ \Leftrightarrow P \ge 2{\left( {x - \dfrac{1}{4}} \right)^2} + \dfrac{{65}}{8} \ge \dfrac{{65}}{8} = 8,125\end{array}\)

Vậy \({P_{\min }} = 8,125 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.