Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông với \(AB = AC = 2\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông với \(AB = AC = 2\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = 3\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SC\).
Tính khoảng cách giữa \(AM\) và \(BC\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Sử dụng: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường này đến mặt phẳng song song và chứa đường thẳng kia.
- Sử dụng: \(d\left( {S;\left( {AMN} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.AMN}}}}{{{S_{\Delta AMN}}}}\).
Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC\) ta có \(MN//BC \Rightarrow BC//\left( {AMN} \right) \supset AM\)
\( \Rightarrow d\left( {AM;BC} \right) = d\left( {BC;\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {AMN} \right)} \right)\).
Lại có \(SC \cap \left( {AMN} \right) = M \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C;\left( {AMN} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {AMN} \right)} \right)}} = \dfrac{{CM}}{{SM}} = 1\) \( \Rightarrow d\left( {C;\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {S;\left( {AMN} \right)} \right)\).
Ta có
\(\begin{array}{l}AM = \dfrac{1}{2}SC = \dfrac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {{3^2} + {2^2}} = \dfrac{{\sqrt {13} }}{2}\\AN = \dfrac{1}{2}SB = \dfrac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {{3^2} + {2^2}} = \dfrac{{\sqrt {13} }}{2}\\MN = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \dfrac{1}{2}.2\sqrt 2 = \sqrt 2 \end{array}\)
Gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác \(AMN\) ta có \(p = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {13} }}{2} + \dfrac{{\sqrt {13} }}{2} + \sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{\sqrt {13} + \sqrt 2 }}{2}\).
\( \Rightarrow {S_{\Delta AMN}} = \sqrt {p\left( {p - AM} \right)\left( {p - AN} \right)\left( {p - MN} \right)} = \dfrac{{\sqrt {22} }}{4}\).
\(\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SC}}.\dfrac{{SN}}{{SB}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{4}{V_{S.ABC}}\), \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.\dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{6}.3.2.2 = 2\).
\( \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{4}.2 = \dfrac{1}{2}\).
Vậy \(d\left( {AM;BC} \right) = d\left( {S;\left( {AMN} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{S.AMN}}}}{{{S_{\Delta AMN}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{1}{2}}}{{\dfrac{{\sqrt {22} }}{4}}} = \dfrac{{3\sqrt {22} }}{{11}}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
