Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\) với \(AB = BC = 1\), \(AD

Câu hỏi số 479728:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\) với \(AB = BC = 1\), \(AD = 2\). Cạnh bên \(SA = 1\) và \(SA\) vuông góc với đáy. Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\).

Diện tích \({S_{mc}}\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(SCDE\) là:

A. \({S_{mc}} = 5\pi \)

B. \({S_{mc}} = 3\pi \)

C. \({S_{mc}} = 11\pi \)

D. \({S_{mc}} = 2\pi \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479728

Phương pháp giải

- Gọi \(H,\,\,G,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,SC,\,\,SE\) và \(M = AC \cap BD\). Chứng minh \(\left( {AFGH} \right)\) là mặt phẳng trung trực của \(SE\).

- Xác định trục \(d\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CDE\).

- Gọi \(O = d \cap \left( {AFGH} \right) \Rightarrow O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.CDE\).

- Tính toán bán kính \(R = OC\).

- Diện tích mặt cầu bán kính \(R\) là \({S_{mc}} = 4\pi {R^2}\).

Giải chi tiết

Gọi \(H,\,\,G,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,SC,\,\,SE\) và \(M = AC \cap BD\).

Dễ thấy \(AFGH\) là hình bình hành.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AF \bot SE\,\,\left( {SA = AE} \right)\\GF \bot SE\,\,\left( {GF//AB//CE,\,\,AB \bot SE} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SE \bot \left( {AFGH} \right)\).

Khi đó \(\left( {AFGH} \right)\) là mặt phẳng trung trực của \(SE\).

Theo bài ra ta có: \(ABCE\) là hình vuông \( \Rightarrow CE \bot AD \Rightarrow \Delta CED\) vuông tại \(E\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CDE\).

Qua \(I\) kẻ đường thẳng \(d//SA\) \( \Rightarrow d\) là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CDE\).

Ta gọi \(O = GH \cap d \Rightarrow O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.CDE\), bán kính \(R = OC\).

Ta có \(IC = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

\(\Delta OIH \sim \Delta GMH \Rightarrow \dfrac{{GM}}{{MH}} = \dfrac{{OI}}{{IH}} \Rightarrow OI = \dfrac{3}{2}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác \(OIC\) ta có \(R = OC = \dfrac{{\sqrt {11} }}{2}\).

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.CED\) là: \({S_{mc}} = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\dfrac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)^2} = 11\pi \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.