Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực và \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) thỏa mãn \(f'\left( t

Câu hỏi số 479733:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực và \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) thỏa mãn \(f'\left( t \right) = f'\left( {t + 5} \right) = 2\) với \(t\) là hằng số. Giá trị \(\int\limits_t^{t + 5} {f'\left( x \right)dx} \) bằng:

A. \( - \dfrac{{105}}{2}\)

B. \(\dfrac{{134}}{3}\)

C. \( - \dfrac{1}{2}\)

D. \(\dfrac{{19}}{4}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479733

Phương pháp giải

- Chọn \(t = 0\), tính \(I\) theo \(t\).

- Vì \(f'\left( 0 \right) = f'\left( 5 \right) = 2\) nên \(0\) và \(5\) là hai nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) - 2 = 0\). Sử dụng định lí Vi-ét tìm \(a,\,\,b\).

- Thay \(a,\,\,b\) vừa tìm được để tính \(I\).

Giải chi tiết

Ta có: \(I = \int\limits_t^{t + 5} {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_t^{t + 5} = f\left( {t + 5} \right) - f\left( t \right)\).

Chọn \(t = 0\) ta có \(I = f\left( 5 \right) - f\left( 0 \right)\).

Ta có: \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2ax + b\).

Vì \(f'\left( 0 \right) = f'\left( 5 \right) = 2\) nên \(0\) và \(5\) là hai nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 2ax + b - 2 = 0\)

Áp dụng định lí Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{{2a}}{3} = 5\\\dfrac{{b - 2}}{3} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{{15}}{2}\\b = 2\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}I = f\left( 5 \right) - f\left( 0 \right)\\I = 125 + 25a + 5b + c - c\\I = 125 + 25a + 5b\\I = 125 - 25.\dfrac{{15}}{2} + 5.2 = - \dfrac{{105}}{2}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.