Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và hình chiếu của \(A'\)
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và hình chiếu của \(A'\) lên \(\left( {ABC} \right)\) là tâm \(O\) của \(\Delta ABC\). Gọi \(O'\) là tâm của tam giác \(A'B'C'\), \(M\) là trung điểm \(AA'\) và \(G\) là trọng tâm tam giác \(B'C'C\). Biết rằng \({V_{O'OMG}} = {a^3}\), tính chiều cao \(h\) của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Trong \(\left( {ABC} \right)\) xác định điểm \(E\) sao cho \(ACEO\) là hình bình hành.
Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CE//AO//A'O'\\CE = AO = A'O'\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A'O'EC\) cũng là hình bình hành.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{O'G}}{{GE}} = \dfrac{{O'K}}{{CE}} = \dfrac{{O'K}}{{A'O'}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow \dfrac{{O'G}}{{O'E}} = \dfrac{1}{3}\).
Trong \(\left( {AOO'A'} \right)\) kéo dài \(O'M\) cắt \(AO\) tại \(D\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có \(\dfrac{{O'M}}{{MD}} = \dfrac{{A'O'}}{{AD}} = \dfrac{{A'M}}{{AM}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{O'M}}{{O'D}} = \dfrac{1}{2}\).
Khi đó ta có \(\dfrac{{{V_{O'.OMG}}}}{{{V_{O'.ODE}}}} = \dfrac{{O'M}}{{O'D}}.\dfrac{{O'G}}{{O'E}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\) \( \Rightarrow {V_{O'.ODE}} = 6{V_{O'.OMG}} = 6{a^3}\).
Ta có \({V_{O'.ODE}} = \dfrac{1}{3}h.{S_{\Delta ODE}} = 6{a^3}\).
Ta lại có \({S_{\Delta ODE}} = \dfrac{1}{2}d\left( {E;OD} \right).OD\).
Ta có \(OD = 2OA = 2.\dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\), \(d\left( {E;OD} \right) = d\left( {C;AO} \right) = \dfrac{a}{2}\).
\( \Rightarrow {S_{\Delta ODE}} = \dfrac{1}{2}d\left( {E;OD} \right).OD = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}\).
Vậy \(h = \dfrac{{18{a^3}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}}} = 36a\sqrt 3 \).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
