Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và hình chiếu của \(A'\)
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và hình chiếu của \(A'\) lên \(\left( {ABC} \right)\) là tâm \(O\) của \(\Delta ABC\). Gọi \(O'\) là tâm của tam giác \(A'B'C'\), \(M\) là trung điểm \(AA'\) và \(G\) là trọng tâm tam giác \(B'C'C\). Biết rằng \({V_{O'OMG}} = {a^3}\), tính chiều cao \(h\) của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Trong \(\left( {ABC} \right)\) xác định điểm \(E\) sao cho \(ACEO\) là hình bình hành.
Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CE//AO//A'O'\\CE = AO = A'O'\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A'O'EC\) cũng là hình bình hành.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{O'G}}{{GE}} = \dfrac{{O'K}}{{CE}} = \dfrac{{O'K}}{{A'O'}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow \dfrac{{O'G}}{{O'E}} = \dfrac{1}{3}\).
Trong \(\left( {AOO'A'} \right)\) kéo dài \(O'M\) cắt \(AO\) tại \(D\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có \(\dfrac{{O'M}}{{MD}} = \dfrac{{A'O'}}{{AD}} = \dfrac{{A'M}}{{AM}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{O'M}}{{O'D}} = \dfrac{1}{2}\).
Khi đó ta có \(\dfrac{{{V_{O'.OMG}}}}{{{V_{O'.ODE}}}} = \dfrac{{O'M}}{{O'D}}.\dfrac{{O'G}}{{O'E}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\) \( \Rightarrow {V_{O'.ODE}} = 6{V_{O'.OMG}} = 6{a^3}\).
Ta có \({V_{O'.ODE}} = \dfrac{1}{3}h.{S_{\Delta ODE}} = 6{a^3}\).
Ta lại có \({S_{\Delta ODE}} = \dfrac{1}{2}d\left( {E;OD} \right).OD\).
Ta có \(OD = 2OA = 2.\dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\), \(d\left( {E;OD} \right) = d\left( {C;AO} \right) = \dfrac{a}{2}\).
\( \Rightarrow {S_{\Delta ODE}} = \dfrac{1}{2}d\left( {E;OD} \right).OD = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}\).
Vậy \(h = \dfrac{{18{a^3}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}}} = 36a\sqrt 3 \).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
