Cho phương trình \({x^{{{\log }_{2020}}\left( {{x^3}} \right) - a}} = 2021\) với \(a\) là số thực dương.

Câu hỏi số 479735:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^{{{\log }_{2020}}\left( {{x^3}} \right) - a}} = 2021\) với \(a\) là số thực dương. Biết tích các nghiệm của phương trình là \(32\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \(1 \le a \le 2\)

B. \(3 \le a \le 4\)

C. \(4 < a \le 5\)

D. \(2 \le a < 3\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479735

Phương pháp giải

- Lấy logarit cơ số 2020 cả hai vế của phương trình.

- Đặt ẩn phụ \(t = {\log _{2020}}x\), đưa về phương trình bậc hai ẩn \(t\).

- Sử dụng định lí Vi-ét.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x > 0\).

Lấy logarit cơ số 2020 cả hai vế của phương trình \({x^{{{\log }_{2020}}\left( {{x^3}} \right) - a}} = 2021\) ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\log _{2020}}\left( {{x^{{{\log }_{2020}}\left( {{x^3}} \right) - a}}} \right) = {\log _{2020}}2021\\ \Leftrightarrow \left[ {{{\log }_{2020}}\left( {{x^3}} \right) - a} \right]{\log _{2020}}x = {\log _{2020}}2021\\ \Leftrightarrow 3\log _{2020}^2x - a{\log _{2020}}x - {\log _{2020}}2021 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _{2020}}x\), phương trình trở thành \(3{t^2} - at - {\log _{2020}}2021 = 0\,\,\left( * \right)\).

Vì phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \({x_1}{x_2} = 32\).

Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \({t_1},\,\,{t_2}\) thỏa mãn

\({t_1} + {t_2} = {\log _{2020}}{x_1} + {\log _{2020}}{x_2} = {\log _{2020}}\left( {{x_1}{x_2}} \right) = {\log _{2020}}32\).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có \({t_1} + {t_2} = \dfrac{a}{3} = {\log _{2020}}32 \Leftrightarrow a = 3.{\log _{2020}}32 \approx 1,37\).

Vậy \(1 \le a \le 2\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.