Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{2} =

Câu hỏi số 479736:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z}{2}\), điểm \(A\left( {3; - 1; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + 2y + 2z - 3 = 0\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\) và tạo với mặt phẳng \(\left( P \right)\) một góc \(\varphi \). Biết khoảng cách giữa \(d\) và \(\Delta \) là 3, tính giá trị nhỏ nhất của \(\cos \varphi \).

A. \(\dfrac{1}{3}\)

B. \(\dfrac{2}{3}\)

C. \(\dfrac{4}{9}\)

D. \(\dfrac{5}{9}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479736

Giải chi tiết

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và song song với \(d\).

Khi đó ta có \(d\left( {\Delta ;d} \right) = d\left( {d;\left( Q \right)} \right) = d\left( {O;\left( Q \right)} \right)\) do \(O \in d\).

Gọi \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {a;b;c} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( Q \right)\).

Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {3; - 1; - 1} \right)\) là:

\(a\left( {x - 3} \right) + b\left( {y + 1} \right) + c\left( {z + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow ax + by + cz - 3a + b + c = 0\)

Lại có \(d//\left( Q \right)\) nên \(\overrightarrow {{u_d}} \bot \overrightarrow {{n_Q}} \Leftrightarrow 3a + 2b + 2c = 0\).

Ta có: \(d\left( {O;\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 3a + b + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 3\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( { - 3a + b + c} \right)^2} = 9\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 9{a^2} + {b^2} + {c^2} - 6ab - 6ac + 2bc = 9\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 4\left( {{b^2} + {c^2}} \right) = - 3ab - 3ac + bc\end{array}\)

Ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}4\left( {{b^2} + {c^2}} \right) = - 3ab - 3ac + bc\\3a + 2b + 2c = 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left( {{b^2} + {c^2}} \right) = 2\left( {b + c} \right)b + 2\left( {b + c} \right)c + bc\\3a = - 2\left( {b + c} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{b^2} + 4{c^2} = 2{b^2} + 2bc + 2bc + 2{c^2} + bc\\3a = - 2\left( {b + c} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{b^2} + 2{c^2} - 5bc = 0\\3a = - 2\left( {b + c} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}b = 2c\\c = 2b\end{array} \right.\\3a = - 2\left( {b + c} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 2c;\,\,a = - 2c\\c = 2b;\,\,a = - 2b\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_Q}} = \left( { - 2c;2c;c} \right) = \left( { - 2;2;1} \right)\\\overrightarrow {{n_Q}} = \left( { - 2b;b;2b} \right) = \left( { - 2;1;2} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Gọi \(d' = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\). Gọi \(H,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( P \right),\,\,d'\), \(M = \Delta \cap \left( P \right)\).

Khi đó ta có \(\angle \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \angle AKH,\,\,\varphi = \angle \left( {\Delta ;\left( P \right)} \right) = \angle AMH\).

Ta có \(\cos \varphi \) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Rightarrow \sin \varphi \) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có \(\sin \varphi = \dfrac{{AH}}{{AM}} \le \dfrac{{AH}}{{AK}}\), do đó \(\sin {\varphi _{\max }} = \dfrac{{AH}}{{AK}} \Leftrightarrow H \equiv K\).

Khi đó \(\cos {\varphi _{\min }} = \cos \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}\).

TH1: \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( { - 2;2;1} \right) \Rightarrow \cos {\varphi _{\min }} = \dfrac{{\left| { - 2.1 + 2.2 + 1.2} \right|}}{{\sqrt 9 .\sqrt 9 }} = \dfrac{4}{9}\).

TH2: \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( { - 2;1;2} \right) \Rightarrow \cos {\varphi _{\min }} = \dfrac{{\left| { - 2.1 + 1.2 + 2.2} \right|}}{{\sqrt 9 .\sqrt 9 }} = \dfrac{4}{9}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\cos \varphi \) bằng \(\dfrac{4}{9}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.