Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Biết \(SA =

Câu hỏi số 481273:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Biết \(SA = a\), \(AB = a\) và \(AD = 2a\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAD\). Khoảng cách từ điểm \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) bằng:

A. \(\dfrac{a}{3}\)

B. \(\dfrac{{2a}}{9}\)

C. \(\dfrac{a}{6}\)

D. \(\dfrac{{2a}}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481273

Phương pháp giải

- Đổi \(d\left( {G;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)\).

- Dựng \(AH \bot BD,\,\,AK \bot SH\), chứng minh \(AK \bot \left( {SBD} \right)\).

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác tính \(AK\).

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(SD\) ta có \(AG \cap \left( {SBD} \right) = \left\{ M \right\}\) nên \(\dfrac{{d\left( {G;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \dfrac{{GM}}{{AM}} = \dfrac{1}{3}\).

\( \Rightarrow d\left( {G;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(AH \bot BD\), trong \(\left( {SAH} \right)\) kẻ \(AK \bot SH\).

Ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AH\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BD \bot AK\\\left\{ \begin{array}{l}AK \bot BD\\AK \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SBD} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AK\).

Ta có: \(AH = \dfrac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{a.2a}}{{\sqrt {{a^2} + 4{a^2}} }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\).

\( \Rightarrow AK = \dfrac{{SA.AH}}{{\sqrt {S{A^2} + A{H^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{4{a^2}}}{5}} }} = \dfrac{{2a}}{3}\).

Vậy \(d\left( {G;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{2a}}{3} = \dfrac{{2a}}{9}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.