Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho với mỗi giá trị của \(m\), bất phương

Câu hỏi số 481279:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho với mỗi giá trị của \(m\), bất phương trình \({\log _2}\sqrt {{x^2} - 2x + m} + 3\sqrt {{{\log }_4}\left( {{x^2} - 2x + m} \right)} \le 10\) nghiệm đúng với mọi giá trị \(x\) thuộc đoạn \(\left[ {0;3} \right]\)?

A. \(13\)

B. \(12\)

C. \(252\)

D. \(253\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481279

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ đúng với mọi giá trị \(x\) thuộc đoạn \(\left[ {0;3} \right]\).

- Đặt \(t = \sqrt {{{\log }_2}\sqrt {{x^2} - 2x + m} } \ge 0\), đưa về bất phương trình bậc hai ẩn \(t\).

- Lập BBT, xác định \(t \in \left[ {a;b} \right]\) ứng với \(\forall x \in \left[ {0;3} \right]\).

- Để phương trình nghiệm đúng \(\forall t \in \left[ {a;b} \right]\) thì \(\left[ {a;b} \right] \subset S\), với \(S\) là tập nghiệm của bất phương trình.

Giải chi tiết

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + m > 0\\{\log _4}\left( {{x^2} - 2x + m} \right) \ge 0\end{array} \right.\,\,\forall x \in \left[ {0;3} \right] \Leftrightarrow {x^2} - 2x + m \ge 1\,\,\forall x \in \left[ {0;3} \right]\).

\( \Leftrightarrow m \ge - {x^2} + 2x + 1\,\,\forall x \in \left[ {0;3} \right] \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} \left( { - {x^2} + 2x + 1} \right) = 2\,\,\left( * \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _2}\sqrt {{x^2} - 2x + m} + 3\sqrt {{{\log }_4}\left( {{x^2} - 2x + m} \right)} \le 10\\ \Leftrightarrow {\log _2}\sqrt {{x^2} - 2x + m} + 3\sqrt {{{\log }_2}\sqrt {{x^2} - 2x + m} } \le 10\end{array}\)

Đặt \(t = \sqrt {{{\log }_2}\sqrt {{x^2} - 2x + m} } \ge \sqrt {{{\log }_2}1} = 0\).

Ta có

\(\begin{array}{l}t' = \dfrac{{\left( {{{\log }_2}\sqrt {{x^2} - 2x + m} } \right)'}}{{2\sqrt {{{\log }_2}\sqrt {{x^2} - 2x + m} } }}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{{2x - 2}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x + m} .\sqrt {{x^2} - 2x + m} \ln 2}}}}{{2\sqrt {{{\log }_2}\sqrt {{x^2} - 2x + m} } }}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{x - 1}}{{\left( {{x^2} - 2x + m} \right)\ln 2.2\sqrt {{{\log }_2}\sqrt {{x^2} - 2x + m} } }}\\t' = 0 \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)

BBT:

Yêu cầu bài toán trở thành: bất phương trình \({t^2} + 3t \le 10\) nghiệm đúng với mọi giá trị \(x\) thuộc đoạn \(\left[ {0;\sqrt {{{\log }_2}\sqrt {m + 3} } } \right]\).

\( \Rightarrow t \in \left[ { - 5;2} \right]\,\,\forall t \in \left[ {0;\sqrt {{{\log }_2}\sqrt {m + 3} } } \right]\)

\( \Rightarrow \sqrt {{{\log }_2}\sqrt {m + 3} } \le 2 \Leftrightarrow {\log _2}\sqrt {m + 3} \le 4 \Leftrightarrow \sqrt {m + 3} \le 16 \Leftrightarrow m \le 253\)

Kết hợp điều kiện (*) ta có \(2 \le m \le 253\). Lại có \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow \) Có 252 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.