Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;4;5} \right)\) và \(B\left( { - 1;2;7}

Câu hỏi số 481284:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;4;5} \right)\) và \(B\left( { - 1;2;7} \right)\). Điểm \(M\) thay đổi nhưng luôn thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(3x - 5y + z - 9 = 0\). Giá trị nhỏ nhất của tổng \(M{A^2} + M{B^2}\) là:

A. \(12\)

B. \(\dfrac{{441}}{{35}}\)

C. \(\dfrac{{858}}{{35}}\)

D. \(\dfrac{{324}}{{35}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481284

Phương pháp giải

- Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Phân tích \(M{A^2} + M{B^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2}\) bằng cách chèn điểm \(I\).

- Chứng minh \(M{A^2} + M{B^2}\) đạt GTNN khi \(M{I_{\min }} = d\left( {I;\left( P \right)} \right)\).

- Tính \(d\left( {I;\left( P \right)} \right)\) và \(AB\). Từ đó tìm được \({\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right)_{\min }}\).

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = 2M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right)\\ = 2M{I^2} + \dfrac{1}{4}A{B^2} + \dfrac{1}{4}A{B^2}\\ = 2M{I^2} + \dfrac{1}{2}A{B^2}\end{array}\)

Vì \(A{B^2} = {\left( { - 2} \right)^2} + {\left( { - 2} \right)^2} + {2^2} = 12\) không đổi nên \(M{A^2} + M{B^2}\) đạt GTNN khi \(M{I_{\min }}\).

Khi đó \(M{I_{\min }} = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {3.0 - 5.3 + 6 - 9} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{18}}{{\sqrt {35} }}\).

Vậy \({\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right)_{\min }} = 2.\dfrac{{{{18}^2}}}{{35}} + \dfrac{1}{2}.12 = \dfrac{{858}}{{35}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.