Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3;...;100} \right\}\) và tập hợp \(B\) là tập hợp con gồm 11 phần tử

Câu hỏi số 481311:

Vận dụng cao

Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3;...;100} \right\}\) và tập hợp \(B\) là tập hợp con gồm 11 phần tử của tập hợp \(A\). Chứng minh tập hợp \(B\) luôn chứa ba phần tử \(x,y,z\) phân biệt sao cho \(x,y,z\) là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481311

Phương pháp giải

Sử dụng phản chứng: Giả sử tập hợp \(B\) không chứa 3 phần tử thỏa mãn đề bài, ta sẽ chứng minh tồn tại phần tử \({a_i} > 100\) và \({a_i} \in A.\) Điều này là vô lý, suy ra giả sử là sai.

Giải chi tiết

Gọi 11 phần tử của tập hợp \(B\) là \({a_1},{a_2}...{a_{11}}\) với \({a_1} < {a_2} < ... < {a_{11}}\) và \({a_i} \in A.\)

Giả sử tập hợp \(B\) không chứa 3 phần tử thỏa mãn đề bài thì \({a_i} + {a_{i + 1}} \le {a_{i + 2}}\) (do \({a_i},{a_{i + 1}},{a_{i + 2}}\) không là ba cạnh của tam giác)

Do đó:

\(\begin{array}{l}{a_3} \ge {a_2} + {a_1} \ge 2 + 1 = 3\\ \Rightarrow {a_4} \ge 3 + 2 \ge 5\\ \Rightarrow {a_5} \ge 8\\ \Rightarrow {a_6} \ge 13\\ \Rightarrow {a_7} \ge 21\\ \Rightarrow {a_8} \ge 34\\ \Rightarrow {a_9} \ge 55\\ \Rightarrow {a_{10}} \ge 89\\ \Rightarrow {a_{11}} \ge 144\end{array}\)

Vô lý do \({a_i} \le 100\).

Vậy điều giả sử là sai, hay tập hợp \(B\) luôn chứa ba phần tử \(x,y,z\) phân biệt sao cho \(x,y,z\) là độ dài ba cạnh của một tam giác.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link