Với mỗi số nguyên dương \(n,\) ký hiệu \(T\left( n \right)\) là tổng của \(n\) và số thu được

Câu hỏi số 481312:

Vận dụng cao

Với mỗi số nguyên dương \(n,\) ký hiệu \(T\left( n \right)\) là tổng của \(n\) và số thu được bằng việc bỏ đi hai chữ số tận cùng của \(n\). Ví dụ, \(T\left( {2045} \right) = 2045 + 20 = 2065.\) Nếu \(n < 100,\) ta lấy \(T\left( n \right) = n + 0 = n.\) Một số nguyên dương \(n\) được gọi là tốt nếu như \(T\left( n \right)\) chia hết cho 2005. Sốt tốt nhỏ nhất là số 1986. Tìm số tốt nhỏ thứ hai.

A. \(3971\)

B. \(2692\)

C. \(3256\)

D. \(2860\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481312

Phương pháp giải

Ta sẽ chứng minh \(T\left( n \right)\) đồng biến với \(n\) là số tự nhiên có 4 chữ số.

Giải chi tiết

Gọi \(k\) là số tự nhiên thỏa mãn \(T\left( k \right) \vdots 2005\)với \(k > 1986\), suy ra \(k\) là số có nhiều hơn hoặc bằng 4 chữ số.

Ta xét trường hợp \(k\) là số có 4 chữ số.

Với \(x,y\) là các số tự nhiên có 4 chữ số và \(x > y\), ta sẽ chứng minh \(T\left( x \right) > T\left( y \right).\)

Đặt \(x = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} ,y = \overline {{b_1}{b_2}{b_3}{b_4}} \) với \(0 \le {a_i},{b_i} \le 9,{a_i},{b_i} \in \mathbb{N},{a_1},{b_1} \ge 1.\)

\(T\left( x \right) - T\left( y \right) = \left( {\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} + \overline {{a_1}{a_2}} } \right) - \left( {\overline {{b_1}{b_2}{b_3}{b_4}} + \overline {{b_1}{b_2}} } \right)\)\( = \left( {\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} - \overline {{b_1}{b_2}{b_3}{b_4}} } \right) + 10\left( {{a_1} - {b_1}} \right) + \left( {{a_2} - {b_2}} \right)\)

Có \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} - \overline {{b_1}{b_2}{b_3}{b_4}} > 0\) do \(x > y\).

Vì \(x > y\) nên \({a_1} \ge {b_1}.\)

Nếu \({a_1} = {b_1}\) thì \({a_2} \ge {b_2}\) (do \(x > y\)), khi đó \(\left( {\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} - \overline {{b_1}{b_2}{b_3}{b_4}} } \right) + 10\left( {{a_1} - {b_1}} \right) + \left( {{a_2} - {b_2}} \right) > 0\) Nếu \({a_1} > {b_1} \Rightarrow {a_1} - {b_1} \ge 1\)\( \Rightarrow 10\left( {{a_1} - {b_1}} \right) \ge 10\)mà \(\left( {{a_2} - {b_2}} \right) \ge - 9\) suy ra \(\left( {\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} - \overline {{b_1}{b_2}{b_3}{b_4}} } \right) + 10\left( {{a_1} - {b_1}} \right) + \left( {{a_2} - {b_2}} \right) > 0\)

Tóm lại \(x > y\) thì \(T\left( x \right) > T\left( y \right)\) với \(x,y\) là các số tự nhiên có 4 chữ số.

Vì \(T\left( {1986} \right) = 1986 + 19 = 2005.1\) mà \(k > 1986\) nên \(T\left( k \right) \ge 2005.2 \Rightarrow T\left( k \right) \ge 4010.\)

Có \(T\left( {3971} \right) = 3971 + 39 = 4010\) nên \(k = 3971\) là số nhỏ nhất có 4 chữ số và lớn hơn 1986 thỏa mãn \(T\left( k \right) \vdots 2005.\)

Với \(k\) có nhiều hơn 4 chữ số thì \(k > 3971.\)

Vậy \(k = 3971\) là số tốt nhỏ thứ 2.

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link