Tính \(P = \sin \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {3\pi - 2\alpha } \right) + \cot \left(

Câu hỏi số 481693:

Vận dụng cao

Tính \(P = \sin \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {3\pi - 2\alpha } \right) + \cot \left( {\pi - \alpha } \right)\), biết \(\sin \alpha = - \dfrac{1}{2}\) và \( - \dfrac{\pi }{2} < \alpha < 0\).

A. \(\dfrac{{3\sqrt 3 - 1}}{2}\)

B. \(\dfrac{{3\sqrt 3 - 3}}{2}\)

C. \(\dfrac{{3\sqrt 3 + 3}}{2}\)

D. \(\dfrac{{3\sqrt 3 + 1}}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481693

Phương pháp giải

Sử dụng công thức chu kì và hai góc phụ nhau, bù nhaun để tính giá trị của biểu thức.

Sử dụng bảng dấu các giá trị lượng giác.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = \sin \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {3\pi - 2\alpha } \right) + \cot \left( {\pi - \alpha } \right)\\\,\,\,\, = \cos \left( { - \alpha } \right) - \cos \left( { - 2\alpha } \right) + \cot \left( { - \alpha } \right)\\\,\,\,\, = \cos \alpha - \cos 2\alpha - \cot \alpha \\\,\,\,\, = \cos \alpha - \left( {2{{\cos }^2}\alpha - 1} \right) - \cot \alpha \end{array}\)

Mặt khác, \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha \)\( = 1 - {\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{3}{4}\) mà \( - \dfrac{\pi }{2} < \alpha < 0\) nên \(\cos \alpha > 0 \Rightarrow \)\(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Rightarrow \cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = - \sqrt 3 \)

Do đó, \(P = \cos \alpha - \left( {2{{\cos }^2}\alpha - 1} \right) - \cot \alpha \)\( = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \left( {2.\dfrac{3}{4} - 1} \right) + \sqrt 3 \)\( = \dfrac{{3\sqrt 3 - 1}}{2}\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.