Cho đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB = 2R.\) Gọi \(C\) là trung điểm của đoạn thẳng

Câu hỏi số 481745:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm \(O\), đường kính \(AB = 2R.\) Gọi \(C\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OA\), qua \(C\) kẻ dây cung \(MN\) vuông góc với \(OA.\) Gọi \(K\) là điểm tùy ý trên cung nhỏ \(BM\) (\(K\) không trùng với \(B\) và \(M),H\) là giao điểm của \(AK\) và \(MN.\)

a) Chứng minh tứ giác \(BCHK\)là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(AH.AK = {R^2}\).

c) Trên đoạn thẳng \(KN\) lấy điểm \(I\) sao cho \(KI = KM.\) Chứng minh \(NI = KB\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481745

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\angle HKB + \angle BCH = {180^0}.\)

b) Chứng minh \(AK.AH = AB.AC\) mà \(AC.AB = {R^2}\)

c) Chứng minh \(\Delta MNI = \Delta MBK\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác \(BCHK\) là tứ giác nội tiếp.

Ta có: \(\angle AKB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn); \(\angle BCH = {90^0}\left( {MC \bot AB} \right)\)
Do đó \(\angle HKB + \angle BCH = {180^0}.\)

Vậy tứ giác \(BCHK\)nội tiếp (dhnb).

b) Chứng minh \(AH.AK = {R^2}.\)

Ta có: \(MC\)là đường trung trực của \(OA\) nên \(MA = MO\) và \(OM = OA = R,\) nên \(OM = OA = MA = R\)

\( \Rightarrow \Delta OAM\) đều \( \Rightarrow \angle MOA = {60^0}\)

Xét \(\Delta ACH\)và \(\Delta AKB\)có:

\(\begin{array}{l}\angle C = \angle K = {90^0}\\\angle A\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta ACH\sim\Delta AKB\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AK}} = \dfrac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AK.AH = AB.AC\)

Mặt khác tam giác \(AMB\)vuông tại M có \(MC\)là đường cao ứng với cạnh huyền nên \(AC.AB = M{A^2} = {R^2}\) (hệ thức lượng) .

Vậy \(AK.AH = {R^2}\)

c) Trên đoạn thẳng \(KN\) lấy điểm \(I\) sao cho \(KI = KM.\) Chứng minh \(NI = KB\).

Tứ giác \(OMAN\)có hai đường chéo \(OA\)và \(MN\)vuông góc nhau tại trung điểm C mỗi đường nên là hình thoi. Do đó \(\angle MON = 2\angle MOA = 120^\circ \)

Từ đó \(\angle MKN = \dfrac{1}{2}\angle MON = 60^\circ \) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \(MN\))

Mặt khác \(MK = KI \Rightarrow \Delta MKI\)đều \( \Rightarrow MK = MI = KI\)

Ta có: \(BC\)là trung trực của \(MN\)nên \(BM = BN,\)và \(\angle MNB = \angle MAB = {60^0}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung BM), do đó \(\Delta BMN\)đều, suy ra \(\angle BMN = {60^0},\,\,MB = MN\)

Ta có: \(\angle KMN = \angle KMB + \angle BMN = \angle KMB + {60^0}\,\,\,\left( 1 \right)\)

Lại có: \(\angle KMN = \angle NMI + \angle KMI = \angle NMI + {60^0}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2) suy ra \(\angle KMB = \angle NMI,\)vì \(MN = MB,MI = MK\)nên \(\Delta MNI = \Delta MBK\,\,\left( {c - g - c} \right)\)

Suy ra \(NI = BK\) (điều phải chứng minh).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link