Giả sử \(a,b,c\) là các số thực khác \(0\) sao cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by =

Câu hỏi số 481746:

Vận dụng

Giả sử \(a,b,c\) là các số thực khác \(0\) sao cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\bx + cy = a\\cx + ay = b\end{array} \right.\) có nghiệm \(\left( {x;y} \right).\)Chứng minh rằng \(\dfrac{{{a^2}}}{{bc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{ca}} + \dfrac{{{c^2}}}{{ab}} = 3\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481746

Phương pháp giải

Để ý \(\dfrac{{{a^2}}}{{bc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{ca}} + \dfrac{{{c^2}}}{{ab}} = 3\) \( \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\,\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\a = b = c\end{array} \right.\), đây là một bài toán quen thuộc của lớp 8.

Giải chi tiết

Có \(\dfrac{{{a^2}}}{{bc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{ca}} + \dfrac{{{c^2}}}{{ab}} = 3 \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Từ hệ phương trình, cộng theo vế ta có: \(\left( {a + b + c} \right)\left( {x + y - 1} \right) = 0\)

TH1: \(a + b + c = 0 \Leftrightarrow a = - \left( {b + c} \right)\) \( \Leftrightarrow {a^3} = - {b^3} - 3bc\left( {b + c} \right) - {c^3}\)\( \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\)

TH2: \(x + y - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 - y\), thay vào phương trình \(ax + by = c\) ta được \(y\left( {a - b} \right) = a - c\)

+ Xét \(a - b = 0 \Leftrightarrow a = b\), thay vào phương trình \(bx + cy = a\)ta được \(cy = b\left( {1 - x} \right) = by\) \( \Rightarrow y\left( {b - c} \right) = 0\)

Nếu \(y = 0 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow a = b = c\), thỏa mãn \(\left( * \right)\)

Nếu \(y \ne 0 \Rightarrow c = b\). Do đó \(a = b = c\), thỏa mãn \(\left( * \right)\)

+ Xét \(a - b \ne 0 \Rightarrow y = \dfrac{{a - c}}{{a - b}}\) \( \Rightarrow x = \dfrac{{c - b}}{{a - b}}\) thay vào phương trình \(bx + cy = a\)ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{b\left( {c - b} \right)}}{{a - b}} + \dfrac{{c\left( {a - c} \right)}}{{a - b}} = a\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow a = b = c\), không thỏa mãn vì đang xét \(a - b \ne 0\)

Vậy khi hệ phương trình có các nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) thì \(a + b + c = 0\) hoặc \(a = b = c\) thỏa mãn \(\left( * \right)\)

Hoàn tất chứng minh.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link