Giả sử \(a,b,c\) là các số thực khác \(0\) sao cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by =

Câu hỏi số 481746:

Vận dụng

Giả sử \(a,b,c\) là các số thực khác \(0\) sao cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\bx + cy = a\\cx + ay = b\end{array} \right.\) có nghiệm \(\left( {x;y} \right).\)Chứng minh rằng \(\dfrac{{{a^2}}}{{bc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{ca}} + \dfrac{{{c^2}}}{{ab}} = 3\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481746

Phương pháp giải

Để ý \(\dfrac{{{a^2}}}{{bc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{ca}} + \dfrac{{{c^2}}}{{ab}} = 3\) \( \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\,\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\a = b = c\end{array} \right.\), đây là một bài toán quen thuộc của lớp 8.

Giải chi tiết

Có \(\dfrac{{{a^2}}}{{bc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{ca}} + \dfrac{{{c^2}}}{{ab}} = 3 \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Từ hệ phương trình, cộng theo vế ta có: \(\left( {a + b + c} \right)\left( {x + y - 1} \right) = 0\)

TH1: \(a + b + c = 0 \Leftrightarrow a = - \left( {b + c} \right)\) \( \Leftrightarrow {a^3} = - {b^3} - 3bc\left( {b + c} \right) - {c^3}\)\( \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\)

TH2: \(x + y - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 - y\), thay vào phương trình \(ax + by = c\) ta được \(y\left( {a - b} \right) = a - c\)

+ Xét \(a - b = 0 \Leftrightarrow a = b\), thay vào phương trình \(bx + cy = a\)ta được \(cy = b\left( {1 - x} \right) = by\) \( \Rightarrow y\left( {b - c} \right) = 0\)

Nếu \(y = 0 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow a = b = c\), thỏa mãn \(\left( * \right)\)

Nếu \(y \ne 0 \Rightarrow c = b\). Do đó \(a = b = c\), thỏa mãn \(\left( * \right)\)

+ Xét \(a - b \ne 0 \Rightarrow y = \dfrac{{a - c}}{{a - b}}\) \( \Rightarrow x = \dfrac{{c - b}}{{a - b}}\) thay vào phương trình \(bx + cy = a\)ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{b\left( {c - b} \right)}}{{a - b}} + \dfrac{{c\left( {a - c} \right)}}{{a - b}} = a\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow a = b = c\), không thỏa mãn vì đang xét \(a - b \ne 0\)

Vậy khi hệ phương trình có các nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) thì \(a + b + c = 0\) hoặc \(a = b = c\) thỏa mãn \(\left( * \right)\)

Hoàn tất chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link