Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) sao cho \(\dfrac{{{x^2} - 2}}{{xy + 2}}\) có

Câu hỏi số 481750:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) sao cho \(\dfrac{{{x^2} - 2}}{{xy + 2}}\) có giá trị là số nguyên.

A. \(x = 4,y = 3.\)

B. \(x = 3,y = 2.\)

C. \(x = 2,y = 3.\)

D. \(x = 3,y = 4.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481750

Phương pháp giải

Nhân thêm tử với đại lượng phù hợp để có thể phân tích tử theo mẫu, đơn giản hóa bài toán. Cụ thể trong bài toán này ta nhân thêm \(y\) lên tử, sau đó biến đổi \(y\left( {{x^2} - 2} \right) = x\left( {xy + 2} \right) - 2\left( {x + y} \right)\)

Giải chi tiết

Giả sử \(\dfrac{{{x^2} - 2}}{{xy + 2}}\)là số nguyên, ta có: \(\left( {{x^2} - 2} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {xy + 2} \right)\) \( \Leftrightarrow y\left( {{x^2} - 2} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {xy + 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {x\left( {xy + 2} \right) - 2\left( {x + y} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {xy + 2} \right)\) \( \Rightarrow 2\left( {x + y} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {xy + 2} \right)\)

Do đó tồn tại số nguyên dương \(k\)sao cho \(2\left( {x + y} \right) = k\left( {xy + 2} \right)\,\,\left( * \right)\)

Nếu \(k \ge 2\) thì từ \(\left( * \right)\) ta có: \(x + y \ge xy + 2 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right) + 1 \le 0,\) mâu thuẫn

Do vậy \(k = 1.\) Từ \(\left( * \right)\) ta có: \(2\left( {x + y} \right) = xy + 2\) \( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = 2\)

Do \(x \ge 1 \Rightarrow x - 2 \ge - 1\) và \(y \ge 1 \Rightarrow y - 1 \ge - 1\) nên ta có các trường hợp sau:

\(TH1:\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\y - 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.\)

\(TH2:\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 2\\y - 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array} \right.\)

Kiểm tra lại ta có \(x = 4,y = 3\) thỏa mãn yêu cầu.

Vậy \(x = 4,y = 3.\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link