Cho hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) cắt nhau tại \(A\) và \(B\) sao cho hai

Câu hỏi số 481751:

Vận dụng cao

Cho hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) cắt nhau tại \(A\) và \(B\) sao cho hai tâm \(O\) và \(O'\) nằm khác phía đối với đường thẳng \(AB.\) Đường thẳng \(d\) thay đổi đi qua \(B\) cắt các đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) lần lượt tại \(C\) và \(D\) \((d\) không trùng với đường thẳng \(AB)\).

a) Xác định vị trí của đường thẳng \(d\) sao cho đoạn thẳng \(CD\) có độ dài lớn nhất.

b) Gọi \(M\) là điểm di chuyển từ điểm \(A,\) ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn \(\left( O \right);\,\,N\) là điểm di chuyển từ điểm \(A,\)cùng chiều kim đồng hồ trên đường tròn \(\left( {O'} \right)\) sao cho \(\angle AOM\) luôn bằng \(\angle AO'N.\) Chứng minh đường trung trực của \(MN\)luôn đi qua một điểm cố định.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481751

Phương pháp giải

a) Để ý \(\Delta AOO' \sim \Delta ACD\)

b) Dự đoán điểm cố định bằng cách vẽ nhiều hình, dùng cảm quan hình học đoán tính chất điểm \(K\) cố định cần tìm chính là một đỉnh của hình bình hành \(OAO'K\).

Giải chi tiết

a) Xác định vị trí của đường thẳng \(d\) sao cho đoạn thẳng \(CD\) có độ dài lớn nhất.

Ta có đường trung trực của \(AB\) là \(OO'\)

Do đó \(\angle AOO' = \dfrac{1}{2}\angle AOB = \angle ACB\) và \(\angle AO'O = \dfrac{1}{2}\angle AO'B = \angle ADB\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta AOO' \sim \Delta ACD\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{AO}}{{AC}} = \dfrac{{OO'}}{{CD}} = \dfrac{{AO'}}{{AD}} \Rightarrow CD = \dfrac{{AC.OO'}}{{AO}}\end{array}\)

\( \Rightarrow CD\) lớn nhất khi \(AC\) lớn nhất, khi đó \(AC\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right)\) và \(AD\) là đường kính của đường tròn \(\left( {O'} \right)\), tương đương với đường thẳng \(d\) vuông góc với \(AB\) tại \(B\).

b) Gọi \(M\) là điểm di chuyển từ điểm \(A,\) ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn \(\left( O \right);\,\,N\) là điểm di chuyển từ điểm \(A,\)cùng chiều kim đồng hồ trên đường tròn \(\left( {O'} \right)\) sao cho \(\angle AOM\) luôn bằng \(\angle AO'N.\) Chứng minh đường trung trực của \(MN\)luôn đi qua một điểm cố định.

Vẽ hình bình hành \(AOKO'\). Ta có:

\(\angle MOK = \angle MOA + \angle AOK = \angle NO'A + \angle AO'K = \angle NO'K\)

Và \(MO = OA = KO';OK = AO' = NO'\) \( \Rightarrow \Delta MOK = \Delta KO'N\) \( \Rightarrow MK = NK\) nên \(K\) thuộc trung trực của \(MN\)

Vì \(A,O,O'\) cố định nên K cố định.

Vậy đường trung trực của \(MN\)luôn đi qua điểm K cố định.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link