Cho \(x,y,z\) là các số thực không âm thỏa mãn \({x^2}{z^2} + {y^2}{z^2} + 1 \le 3z\) Tìm giá trị nhỏ

Câu hỏi số 481752:

Vận dụng cao

Cho \(x,y,z\) là các số thực không âm thỏa mãn \({x^2}{z^2} + {y^2}{z^2} + 1 \le 3z\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{8}{{{{\left( {y + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{{4{z^2}}}{{{{\left( {1 + 2z} \right)}^2}}}\)

A. \(1\)

B. \(\dfrac{1}{2}\)

C. \(\dfrac{1}{4}\)

D. \(\dfrac{1}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481752

Phương pháp giải

Biến đổi giả thiết được \(x + y + \dfrac{1}{{2z}} \le 3\). Để đơn giản hóa biểu thức ta đổi biến \(\left\{ \begin{array}{l}x = a\\y = b\\\dfrac{1}{{2z}} = c\end{array} \right.\).

Tới đây sử dụng các bất đẳng thức giữa tổng bình phương và bình phương của một tổng, bất đẳng thức Cauchy – Schwarz để tìm GTNN của biểu thức \(P\).

Giải chi tiết

Vì \(0 < {x^2}{z^2} + {y^2}{z^2} + 1 \le 3z \Rightarrow z > 0\)

Từ giả thiết ta có :

\(6z \ge 2{x^2}{z^2} + 2{y^2}{z^2} + 2 = 2\left( {{x^2}{z^2} + \dfrac{1}{4}} \right) + 2\left( {{y^2}{z^2} + \dfrac{1}{4}} \right) + 1 \ge 2xz + 2yz + 1\,\left( {AM - GM} \right)\)

\( \Leftrightarrow x + y + \dfrac{1}{{2z}} \le 3\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = a\\y = b\\\dfrac{1}{{2z}} = c\end{array} \right.\) với \(a,b,c > 0\) ta có \(a + b + c \le 3.\)

Khi đó \(P = \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{8}{{{{\left( {b + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {c + 1} \right)}^2}}}\)

\(P = \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{{2^2}}}{{{{\left( {b + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{{{2^2}}}{{{{\left( {b + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {c + 1} \right)}^2}}}\)

Áp dụng bất đẳng thức \({A^2} + {B^2} \ge \dfrac{1}{2}{\left( {A + B} \right)^2}\) ta có:

\(\dfrac{{{1^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{{2^2}}}{{{{\left( {b + 3} \right)}^2}}} \ge \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{1}{{\left( {a + 1} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {b + 3} \right)}}} \right)^2}\)

\(\dfrac{{{1^2}}}{{{{\left( {c + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{{2^2}}}{{{{\left( {b + 3} \right)}^2}}} \ge \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{1}{{\left( {c + 1} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {b + 3} \right)}}} \right)^2}\)

Suy ra \(P \ge \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{1}{{\left( {a + 1} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {b + 3} \right)}}} \right)^2} + \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{1}{{\left( {c + 1} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {b + 3} \right)}}} \right)^2} \ge \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}{\left[ {\dfrac{1}{{\left( {a + 1} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {b + 3} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {c + 1} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {b + 3} \right)}}} \right]^2}\)

\(P \ge \dfrac{1}{4}{\left[ {\dfrac{1}{{\left( {a + 1} \right)}} + \dfrac{4}{{\left( {b + 3} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {c + 1} \right)}}} \right]^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

\(\dfrac{{{1^2}}}{{\left( {a + 1} \right)}} + \dfrac{{{2^2}}}{{\left( {b + 3} \right)}} + \dfrac{{{1^2}}}{{\left( {c + 1} \right)}} \ge \dfrac{{{{\left( {1 + 2 + 1} \right)}^2}}}{{a + b + c + 5}} \ge 2\) (do \(a + b + c \le 3\))

Suy ra \(P \ge \dfrac{1}{4}.{\left( 2 \right)^2} \Rightarrow P \ge 1.\)

Vậy GTNN của \(P\) là \(1\), dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = 1;z = \dfrac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link