Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) là \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1}

Câu hỏi số 482352:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) là \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 10;2021} \right]\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 3x - m} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\)?

A. \(2016\)

B. \(2019\)

C. \(2018\)

D. \(2017\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:482352

Phương pháp giải

- Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 3x - m} \right)\), tính \(g'\left( x \right)\).

- Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\) thì \(g'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm

- Sử dụng phương pháp cô lập \(m\).

Giải chi tiết

Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 3x - m} \right)\) ta có \(g'\left( x \right) = \left( {2x + 3} \right)f'\left( {{x^2} + 3x - m} \right)\).

Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\) thì \(g'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {2x + 3} \right)f'\left( {{x^2} + 3x - m} \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\\ \Leftrightarrow f'\left( {{x^2} + 3x - m} \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\,\,\left( {do\,\,2x + 3 > 0\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)} \right)\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le - 3\end{array} \right.\)

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 3x - m \ge 1\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\\{x^2} + 3x - m \le - 3\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 3x \ge m + 1\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\\{x^2} + 3x \le m - 3\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\end{array} \right.\,\,\left( {**} \right)\).

Đặt \(h\left( x \right) = {x^2} + 3x\), khi đó \(\left( {**} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h\left( x \right) \ge m + 1\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\\h\left( x \right) \le m - 3\,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} h\left( x \right) \ge m + 1\\\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} h\left( x \right) \le m - 3\end{array} \right.\).

Xét hàm số \(h\left( x \right) = {x^2} + 3x\) trên \(\left[ {0;2} \right]\) ta có \(h'\left( x \right) = 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{3}{2} \notin \left[ {0;2} \right]\).

Có \(h\left( 0 \right) = 0,\,\,h\left( 2 \right) = 10\) nên \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} h\left( x \right) = 0 \ge m + 1\\\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} h\left( x \right) = 10 \le m - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 1\\m \ge 13\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \left[ { - 10;2021} \right]\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\). Vậy có 2019 giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.