Cho đa thức \(f\left( x \right)\) với hệ số thực và thỏa mãn \(2f\left( x \right) + f\left( {1 - x}

Câu hỏi số 482353:

Vận dụng

Cho đa thức \(f\left( x \right)\) với hệ số thực và thỏa mãn \(2f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = {x^2},\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Biết tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x = 1\) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tạo với hai trục tọa độ một tam giác. Tính diện tích của tam giác đó?

A. \(\dfrac{1}{6}\)

B. \(\dfrac{3}{2}\)

C. \(\dfrac{1}{3}\)

D. \(\dfrac{2}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:482353

Phương pháp giải

- Thay \(x\) bởi \(1 - x\), giải hệ phương trình tìm hàm \(f\left( x \right)\).

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = 1\) là

\(y = f'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) + f\left( 1 \right)\,\,\left( d \right)\)

- Tìm \(A = d \cap Ox\), \(B = d \cap Oy\). Tìm tọa độ điểm \(A,\,\,B\) và tính \(OA,\,\,OB\).

- Tính \({S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB\).

Giải chi tiết

Ta có \(2f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = {x^2},\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2f\left( {1 - x} \right) + f\left( x \right) = {\left( {1 - x} \right)^2},\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) + 2f\left( {1 - x} \right) = {x^2} - 2x + 1,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)

Ta có hệ:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = {x^2}\\f\left( x \right) + 2f\left( {1 - x} \right) = {x^2} - 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4f\left( x \right) + 2f\left( {1 - x} \right) = 2{x^2}\\f\left( x \right) + 2f\left( {1 - x} \right) = {x^2} - 2x + 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow 3f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\left( {{x^2} + 2x - 1} \right) \Rightarrow f\left( 1 \right) = \dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\left( {2x + 2} \right) \Rightarrow f'\left( 1 \right) = \dfrac{4}{3}\end{array}\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = 1\) là:

\(y = \dfrac{4}{3}\left( {x - 1} \right) + \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow y = \dfrac{4}{3}x - \dfrac{2}{3}\,\,\left( d \right)\)

Gọi \(A = d \cap Ox\). Cho \(y = 0 \Rightarrow \dfrac{4}{3}x - \dfrac{2}{3} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow A\left( {\dfrac{1}{2};0} \right)\) và \(OA = \dfrac{1}{2}\).

Gọi \(B = d \cap Oy\). Cho \(x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{4}{3}.0 - \dfrac{2}{3} = - \dfrac{2}{3} \Rightarrow B\left( {0; - \dfrac{2}{3}} \right)\) và \(OB = \dfrac{2}{3}\).

Vậy \({S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.