Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có tất cả các cạnh bằng 1 và \(\angle BAD = \angle DAA' = \angle A'AB =

Câu hỏi số 482360:

Vận dụng

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có tất cả các cạnh bằng 1 và \(\angle BAD = \angle DAA' = \angle A'AB = {60^0}\). Cho hai điểm \(M,\,\,N\) thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {C'B} = \overrightarrow {BM} ,\,\,\overrightarrow {DN} = 2\overrightarrow {DD'} \). Độ dài đoạn thẳng \(MN\) là:

A. \(\sqrt 3 \)

B. \(\sqrt {13} \)

C. \(\sqrt {19} \)

D. \(\sqrt {15} \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:482360

Phương pháp giải

- Phân tích \(\overrightarrow {MN} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {AA'} \).

- Sử dụng công thức \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC'} + \overrightarrow {C'D'} + \overrightarrow {D'N} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\overrightarrow {BC'} + \overrightarrow {C'D'} + \overrightarrow {DD'} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CC'} } \right) + \overrightarrow {C'D'} + \overrightarrow {CC'} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {C'D'} + \overrightarrow {CC'} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\overrightarrow {AD} + 3\overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} \\ \Rightarrow M{N^2} = {\left( {2\overrightarrow {AD} + 3\overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AB} } \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4A{D^2} + 9AA{'^2} + A{B^2} + 12\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AA'} - 4\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} - 6\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 14 + 12\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AA'} - 4\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} - 6\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB} \end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AA'} = AD.AA'.\cos \angle DAA' = 1.1.\cos {60^0} = \dfrac{1}{2}\\\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} = AD.AB.\cos \angle BAD = 1.1.\cos {60^0} = \dfrac{1}{2}\\\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AB} = AA'.AB.\cos \angle A'AB = 1.1.\cos {60^0} = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

\( \Rightarrow M{N^2} = 14 + 12.\dfrac{1}{2} - 4.\dfrac{1}{2} - 6.\dfrac{1}{2} = 15\).

Vậy \(MN = \sqrt {15} \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.