Cho tam giác \(OAB\) đều cạnh \(2a\). Trên đường thẳng \(d\) qua \(O\) và vuông góc với mặt phẳng
Cho tam giác \(OAB\) đều cạnh \(2a\). Trên đường thẳng \(d\) qua \(O\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\) lấy điểm \(M\) sao cho \(OM = x\). Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là hình hcieeus vuông góc của \(A\) trên \(MB\) và \(OB\). Gọi \(N\) là giao điểm của \(EF\) và \(d\). Tìm \(x\) để thể tích tứ diện \(ABMN\) có giá trị nhỏ nhất.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Phân chia khối đa diện: \({V_{ABMN}} = {V_{M.OAB}} + {V_{N.AOB}}\)\( = \dfrac{1}{3}OM.{S_{\Delta OAB}} + \dfrac{1}{3}ON.{S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{3}MN.{S_{\Delta OAB}}\).
- Để \({V_{ABMN}}\) đạt gía trị nhỏ nhất khi \(MN\) đạt giá trị nhỏ nhất.
- Chứng minh \(BM \bot \left( {AEF} \right)\).
- Sử dụng tam giác đồng dạng tính độ dài \(ON\).
- Áp dụng BĐT Cô-si tìm GTNN của \(OM + ON\). Từ đó tìm \(x\) để \({V_{ABMN}}\) nhỏ nhất.
Ta có \({V_{ABMN}} = {V_{M.OAB}} + {V_{N.AOB}}\)\( = \dfrac{1}{3}OM.{S_{\Delta OAB}} + \dfrac{1}{3}ON.{S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{3}MN.{S_{\Delta OAB}}\).
Tam giác \(OAB\) đều cạnh \(2a\) nên \({S_{\Delta OAB}} = \dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \) không đổi.
Do đó \({V_{ABMN}}\) đạt gía trị nhỏ nhất khi \(MN\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có: \(\Delta OAB\) đều \( \Rightarrow M\) là trung điểm của \(OB\).
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AF \bot OB\\AF \bot OM\end{array} \right. \Rightarrow AF \bot \left( {OBM} \right) \Rightarrow AF \bot BM\\\left\{ \begin{array}{l}BM \bot AF\\BM \bot AE\end{array} \right. \Rightarrow BM \bot \left( {AEF} \right) \Rightarrow BM \bot EF\end{array}\).
Ta có \(\angle BFE = \angle OMB = \angle OFN\) \( \Rightarrow \Delta OBM \sim \Delta ONF\,\,\left( {g.g} \right)\).
\( \Rightarrow \dfrac{{ON}}{{OB}} = \dfrac{{OF}}{{OM}} \Rightarrow ON = \dfrac{{OB.OF}}{{OM}} = \dfrac{{2a.a}}{x} = \dfrac{{2{a^2}}}{x}\).
\( \Rightarrow MN = OM + ON = x + \dfrac{{2{a^2}}}{x} \ge 2\sqrt {x.\dfrac{{2{a^2}}}{x}} = 2\sqrt 2 a\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = \dfrac{{2{a^2}}}{x} \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 \).
Vậy \({V_{ABMN}}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = a\sqrt 2 \).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
