Tính tổng \(T = \dfrac{{C_{2020}^0}}{3} - \dfrac{{C_{2020}^1}}{4} + \dfrac{{C_{2020}^2}}{5} -

Câu hỏi số 482362:

Vận dụng cao

Tính tổng \(T = \dfrac{{C_{2020}^0}}{3} - \dfrac{{C_{2020}^1}}{4} + \dfrac{{C_{2020}^2}}{5} - \dfrac{{C_{2020}^3}}{6} + ... - \dfrac{{C_{2020}^{2019}}}{{2022}} + \dfrac{{C_{2020}^{2020}}}{{2023}}\).

A. \(\dfrac{1}{{4133456312}}\)

B. \(\dfrac{1}{{4133456315}}\)

C. \(\dfrac{1}{{4133456313}}\)

D. \(\dfrac{1}{{4133456314}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:482362

Phương pháp giải

- Xét khai triển \({x^2}{\left( {1 - x} \right)^{2020}}\).

- Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế, chứng minh \(T = \int\limits_0^1 {{x^2}{{\left( {1 - x} \right)}^{2020}}dx} \).

- Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = 1 - x\).

Giải chi tiết

Xét khai triển:

\(\begin{array}{l}{x^2}{\left( {1 - x} \right)^{2020}} = {x^2}\sum\limits_{k = 0}^{2020} {C_{2020}^k.{{\left( { - x} \right)}^k}} \\ = {x^2}\left( {C_{2020}^0 - C_{2020}^1x + C_{2020}^2{x^2} - C_{2020}^3{x^3} + ... - C_{2020}^{2019}{x^{2019}} + C_{2020}^{2020}{x^{2020}}} \right)\\ = C_{2020}^0{x^2} - C_{2020}^1{x^3} + C_{2020}^2{x^4} - C_{2020}^3{x^5} + ... - C_{2020}^{2019}{x^{2021}} + C_{2020}^{2020}{x^{2022}}\end{array}\)

Lấy tích phân hai vế ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {{x^2}{{\left( {1 - x} \right)}^{2020}}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {C_{2020}^0{x^2} - C_{2020}^1{x^3} + C_{2020}^2{x^4} - C_{2020}^3{x^5} + ... - C_{2020}^{2019}{x^{2021}} + C_{2020}^{2020}{x^{2022}}} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left. {\left( {C_{2020}^0\dfrac{{{x^3}}}{3} - C_{2020}^1\dfrac{{{x^4}}}{4} + C_{2020}^2\dfrac{{{x^5}}}{5} - C_{2020}^3\dfrac{{{x^6}}}{6} + ... - C_{2020}^{2019}\dfrac{{{x^{2022}}}}{{2022}} + C_{2020}^{2020}\dfrac{{{x^{2023}}}}{{2023}}} \right)} \right|_0^1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}C_{2020}^0 - \dfrac{1}{4}C_{2020}^1 + \dfrac{1}{5}C_{2020}^2 - \dfrac{1}{6}C_{2020}^3 + ... - \dfrac{1}{{2022}}C_{2020}^{2019} + \dfrac{1}{{2023}}C_{2020}^{2020}\end{array}\)\

Suy ra \(T = \int\limits_0^1 {{x^2}{{\left( {1 - x} \right)}^{2020}}dx} \).

Đặt \(t = 1 - x \Rightarrow dt = - dx\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\). Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}T = \int\limits_0^1 {{x^2}{{\left( {1 - x} \right)}^{2020}}dx} = - \int\limits_1^0 {{{\left( {1 - t} \right)}^2}{t^{2020}}dt} \\ = \int\limits_0^1 {{t^{2020}}\left( {{t^2} - 2t + 1} \right)dt} = \int\limits_0^1 {\left( {{t^{2022}} - 2{t^{2021}} + {t^{2020}}} \right)dt} \\ = \left. {\left( {\dfrac{{{t^{2023}}}}{{2023}} - 2\dfrac{{{t^{2022}}}}{{2022}} + \dfrac{{{t^{2021}}}}{{2021}}} \right)} \right|_0^1\\ = \dfrac{1}{{2023}} - \dfrac{2}{{2022}} + \dfrac{1}{{2021}} = \dfrac{1}{{4133456313}}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.