Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}

Câu hỏi số 482363:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = - 1\), \(\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx} = 5\). Tính \(I = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( {\left| {2x - 1} \right|} \right)dx} \).

A. \(I = - 3\)

B. \(I = 3\)

C. \(I = 6\)

D. \(I = 2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:482363

Phương pháp giải

- Chèn cận \(\dfrac{1}{2}\) và phá trị tuyệt đối.

- Sử dụng phương pháp đổi biến số tính từng tích phân.

Giải chi tiết

Ta có: \(I = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( {\left| {2x - 1} \right|} \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^{\frac{1}{2}} {f\left( {1 - 2x} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^3 {f\left( {2x - 1} \right)dx} = {I_1} + {I_2}\).

Xét \({I_1} = \int\limits_{ - 2}^{\frac{1}{2}} {f\left( {1 - 2x} \right)dx} \).

Đặt \(t = 1 - 2x \Rightarrow dt = - 2dx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 \Rightarrow t = 5\\x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\). Ta có:

\({I_1} = - \dfrac{1}{2}\int\limits_5^0 {f\left( t \right)dt} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{5}{2}\).

Xét \({I_2} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^3 {f\left( {2x - 1} \right)dx} \).

Đặt \(u = 2x - 1 \Rightarrow du = 2dx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow u = 0\\x = 2 \Rightarrow u = 3\end{array} \right.\). Ta có:

\({I_2} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^3 {f\left( u \right)du} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = - \dfrac{1}{2}\).

Vậy \(I = \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2} = 2\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.