Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình sau

\({4^{{{\sin }^2}x}} + {5^{{{\cos }^2}x}} \le m{.7^{{{\cos }^2}x}}\)

Có nghiệm là \(m \in \left[ {\dfrac{a}{b}; + \infty } \right)\) với \(a,\;b\) là các số nguyên dương và \(\dfrac{a}{b}\) tối giản. Khi đó \(S = a + b\) bằng:

Câu 482502: Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình sau

\({4^{{{\sin }^2}x}} + {5^{{{\cos }^2}x}} \le m{.7^{{{\cos }^2}x}}\)

Có nghiệm là \(m \in \left[ {\dfrac{a}{b}; + \infty } \right)\) với \(a,\;b\) là các số nguyên dương và \(\dfrac{a}{b}\) tối giản. Khi đó \(S = a + b\) bằng:

A. \(S = 13\)

B. \(S = 11\)

C. \(S = 15\)

D. \(S = 9\)

Câu hỏi : 482502

Quảng cáo

Đáp án : A
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đưa bất phương trình ban đầu về: \({4^{1 - {{\cos }^2}x}} + {5^{{{\cos }^2}x}} \le m{.7^{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow \dfrac{4}{{{{28}^{{{\cos }^2}x}}}} + {\left( {\dfrac{5}{7}} \right)^{{{\cos }^2}x}} \le m\)

Đặt \({\cos ^2}x = t,\;t \in \left[ {0;1} \right]\). Bất phương trình trở thành: \(\dfrac{4}{{{{28}^t}}} + {\left( {\dfrac{5}{7}} \right)^t} \le m\)

Xét \(f\left( t \right) = \dfrac{4}{{{{28}^t}}} + {\left( {\dfrac{5}{7}} \right)^t},\;t \in \left[ {0;1} \right]\) ta có: \(f'\left( t \right) = - \dfrac{{4\ln 28}}{{{{28}^t}}} + {\left( {\dfrac{5}{7}} \right)^t}.\ln \dfrac{5}{7} < 0,\;\;\forall \;t \in \left[ {0;1} \right]\)

\( \Rightarrow f\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {0;1} \right]\), lại có \(f\left( 1 \right) = \dfrac{6}{7}\).

Từ đó suy ra bất phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow m \ge f\left( 1 \right) = \dfrac{6}{7} \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{6}{7} \Rightarrow S = 13\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.