Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) (với \(\left| m \right| < 2021\)) để phương trình
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) (với \(\left| m \right| < 2021\)) để phương trình \({2^{x - 1}} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}\left( {x + 2m} \right) + m\) có nghiệm?
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Tìm hàm đặc trưng.
- Đưa phương trình về dạng \(m = g\left( x \right)\), sử dụng tương giao tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
Ta có
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{2^{x - 1}} = {\log _4}\left( {x + 2m} \right) + m\\ \Leftrightarrow {2^{x - 1}} = \dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {x + 2m} \right) + m\\ \Leftrightarrow {2^x} = {\log _2}\left( {x + 2m} \right) + 2m\\ \Leftrightarrow {2^x} + x = {\log _2}\left( {x + 2m} \right) + x + 2m\\ \Leftrightarrow {2^x} + x = {2^{{{\log }_2}\left( {x + 2m} \right)}} + {\log _2}\left( {x + 2m} \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {2^x} + x\) ta có \(f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 + 1 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
Khi đó ta có \(f\left( x \right) = f\left( {{{\log }_2}\left( {x + 2m} \right)} \right) \Leftrightarrow x = {\log _2}\left( {x + 2m} \right)\) \( \Rightarrow 2m = {2^x} - x\).
Đặt \(g\left( x \right) = {2^x} - x\) ta có: \(g'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 - 1\).
\(g'\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow {2^x} = \dfrac{1}{{\ln 2}} = {\left( {\ln 2} \right)^{ - 1}} \Leftrightarrow x = {\log _2}{\left( {\ln 2} \right)^{ - 1}} = - {\log _2}\left( {\ln 2} \right) = {x_0}\).
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có nghiệm khi \(2m \ge g\left( { - {{\log }_2}\left( {\ln 2} \right)} \right) \Leftrightarrow 2m \ge 0,91 \Leftrightarrow m \ge 0,455\).
Kết hợp với điều kiện đề bài ta có \(\left\{ \begin{array}{l}1 \le m < 2021\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\).
Vậy có 2020 giá trị \(m\) thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
