Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(2a\), góc giữa hai đường thẳng
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(2a\), góc giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(BC'\) bằng \({60^0}\). Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ đó.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Đặt \(AA' = x > 0\).
- Phân tích vectơ để tính \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} \) theo \(a\) và \(x\).
- Tính \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} = AB'.BC'.\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ;\overrightarrow {BC'} } \right)\).
- Giải phương trình tìm \(x\) theo \(a\).
- Tính thể tích khối lăng trụ là \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}}\).
Đặt \(AA' = x > 0\) ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} = \left( {\overrightarrow {BB'} - \overrightarrow {BA} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC} + {\overrightarrow {BB'} ^2} - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BB'} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {BB'} .\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} } \right) + {\overrightarrow {BB'} ^2} - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {AC} + {\overrightarrow {BB'} ^2} - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\overrightarrow {BB'} ^2} - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \,\,\,\left( {do\,\,BB' \bot AC} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^2} - BA.BC.cos{60^0} + BB{'^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^2} - 2{a^2}\end{array}\)
Ta có: \(AB' = BC' = \sqrt {{x^2} + 4{a^2}} \) (định lí Pytago)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} = AB'.BC'.\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ;\overrightarrow {BC'} } \right) = \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + 4{a^2}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + 4{a^2}} \right) = {x^2} - 2{a^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4{a^2} = 2{x^2} - 4{a^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = 8{a^2} \Leftrightarrow x = 2\sqrt 2 a\end{array}\)
Vậy thể tích khối lăng trụ là \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = 2\sqrt 2 a.\dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = 2\sqrt 6 {a^3}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
