Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(2a\), góc giữa hai đường thẳng
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(2a\), góc giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(BC'\) bằng \({60^0}\). Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ đó.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Đặt \(AA' = x > 0\).
- Phân tích vectơ để tính \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} \) theo \(a\) và \(x\).
- Tính \(\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} = AB'.BC'.\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ;\overrightarrow {BC'} } \right)\).
- Giải phương trình tìm \(x\) theo \(a\).
- Tính thể tích khối lăng trụ là \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}}\).
Đặt \(AA' = x > 0\) ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} = \left( {\overrightarrow {BB'} - \overrightarrow {BA} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC} + {\overrightarrow {BB'} ^2} - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BB'} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {BB'} .\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} } \right) + {\overrightarrow {BB'} ^2} - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {AC} + {\overrightarrow {BB'} ^2} - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\overrightarrow {BB'} ^2} - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \,\,\,\left( {do\,\,BB' \bot AC} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^2} - BA.BC.cos{60^0} + BB{'^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^2} - 2{a^2}\end{array}\)
Ta có: \(AB' = BC' = \sqrt {{x^2} + 4{a^2}} \) (định lí Pytago)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {BC'} = AB'.BC'.\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ;\overrightarrow {BC'} } \right) = \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + 4{a^2}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + 4{a^2}} \right) = {x^2} - 2{a^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4{a^2} = 2{x^2} - 4{a^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = 8{a^2} \Leftrightarrow x = 2\sqrt 2 a\end{array}\)
Vậy thể tích khối lăng trụ là \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = 2\sqrt 2 a.\dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = 2\sqrt 6 {a^3}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
