Tìm các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = {2^{{x^3} - {x^2} + mx + 1}}\) đồng biến

Câu hỏi số 482871:

Vận dụng

Tìm các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = {2^{{x^3} - {x^2} + mx + 1}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\)?

A. \(m \ge - 1\)

B. \(m < - 1\)

C. \(m > - 8\)

D. \(m \le - 8\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:482871

Phương pháp giải

- Tìm đạo hàm của hàm số. Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {{a^u}} \right)' = {a^u}\ln a.u'\).

- Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\) thì \(y' \ge 0\) \(\forall x \in \left( {a;b} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

- Đưa bất phương trình về dạng \(m \Leftrightarrow f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right) \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\).

- Lập bảng biến thiên hàm số \(f\left( x \right)\) rồi kết luận.

Giải chi tiết

Ta có \(y = {2^{{x^3} - {x^2} + mx + 1}} \Rightarrow y' = \left( {3{x^2} - 2x + m} \right){.2^{{x^3} - {x^2} + mx + 1}}\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {1;2} \right)\) thì \(y' = \left( {3{x^2} - 2x + m} \right){.2^{{x^3} - {x^2} + mx + 1}} \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x + m \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\,\,\left( {do\,\,{2^{{x^3} - {x^2} + mx + 1}} > 0\,\,\forall x} \right)\\ \Leftrightarrow m \ge - 3{x^2} + 2x,\forall x \in \left( {1;2} \right)\end{array}\)

\( \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right)\) với \(f\left( x \right) = - 3{x^2} + 2x\) (*).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = - 3{x^2} + 2x\) ta có: \(f'\left( x \right) = - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3} \notin \left[ {1;2} \right]\).

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta thấy \(m \ge f\left( 1 \right) = - 1\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.