Xét bất phương trình \({\rm{log}}_2^22x - 2\left( {m + 1} \right){\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x - 2 < 0\). Tìm tất

Câu hỏi số 482872:

Vận dụng

Xét bất phương trình \({\rm{log}}_2^22x - 2\left( {m + 1} \right){\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x - 2 < 0\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\).

A. \(m \in \left( {0; + \infty } \right)\)

B. \(m \in \left( { - \dfrac{3}{4};0} \right)\)

C. \(m \in \left( { - \dfrac{3}{4}; + \infty } \right)\)

D. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:482872

Phương pháp giải

- Đặt \(t = {\log _2}x\), đưa về bất phương trình bậc hai ẩn \(t\) (*).

- Tìm tập nghiệm \(S\) của bất phương trình theo \(t\).

- Chứng minh để phương trình ban đầu phải có nghiệm thuộc khoảng \(x \in \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\) nên phương trình (*) phải có nghiệm \(t \in \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\).

- Để phương trình (*) có nghiệm \(t \in \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\) \( \Rightarrow S \cap \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right) \ne \emptyset \).

- Giải bất phương trình chứa căn: \(\sqrt A > B \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}A \ge 0\\B < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A > {B^2}\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\log _2^22x - 2\left( {m + 1} \right){\log _2}x - 2 < 0\\ \Leftrightarrow {\left( {1 + {{\log }_2}x} \right)^2} - 2\left( {m + 1} \right){\log _2}x - 2 < 0\\ \Leftrightarrow \log _2^2x + 2{\log _2}x + 1 - 2\left( {m + 1} \right){\log _2}x - 2 < 0\\ \Leftrightarrow \log _2^2x - 2m{\log _2}x - 1 < 0\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _2}x\), phương trình đã cho trở thành: \({t^2} - 2mt - 1 < 0\,\,\left( * \right)\).

Ta có \(\Delta ' = {m^2} + 1 > 0\,\,\forall m\) nên tập nghiệm của bất phương trình (*) là: \(t \in \left( {m - \sqrt {{m^2} + 1} ;m + \sqrt {{m^2} + 1} } \right)\)

Vì phương trình ban đầu phải có nghiệm thuộc khoảng \(x \in \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right) \Rightarrow t \in \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\) nên phương trình (*) phải có nghiệm \(t \in \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {m - \sqrt {{m^2} + 1} ;m + \sqrt {{m^2} + 1} } \right) \cap \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right) \ne \emptyset \\ \Rightarrow m + \sqrt {{m^2} + 1} > \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} + 1} > \dfrac{1}{2} - m\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2} - m < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2} - m \ge 0\\{m^2} + 1 > {m^2} - m + \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{1}{2}\\\left\{ \begin{array}{l}m \le \dfrac{1}{2}\\m > - \dfrac{3}{4}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > - \dfrac{3}{4}\end{array}\)

Vậy \(m \in \left( { - \dfrac{3}{4}; + \infty } \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.